P4936 Agent1 题解

最新推荐文章于 2025-11-24 15:27:16 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-24 15:27:16 发布 · 93 阅读

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#算法 #c++

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文章讨论了将一组整数分成两组的不同分法，每组至少有一个数，总共有2^(n-1)-1种切割方式。通过计算得到答案的公式并给出了16行代码实现，利用快速幂优化计算过程。

题意

给定一个整数 $n$ ，代表有 $n$ 个数（不妨设为 $1,2,…,n1,2,\ldots,n$ ）。

让你把这些数分为两组（考虑直接左右切成两半），其中每一组要保证有数，每一个数不一定要用。

求有多少种分组方式。

答案对 $1000000007$ 取模。

推导

对于 $n$ 个数，我们有 $n$ 种切割方法。考虑对于第 $i$ 种切割（切割的临界值要选，归为），每一个数可选可不选，所以左边一组共有 $2^{i-1}$ 种选法，右边有 $2^{n-i}-1$ 种选法。

$ans=∑i=1n2i−1×(2n−i−1)=∑i=1n2n−1−2i−1=(n−2)×2n−1+1\begin{aligned} ans&=\sum\limits_{i=1}^{n} 2^{i-1} \times (2^{n-i}-1)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} 2^{n-1}-2^{i-1} \\ &= (n-2) \times 2^{n-1}+1 \end{aligned}$

代码

$16$ 行代码，如果需要可以压到 $14$ 行。

#include<bits/stdc++.h>
long long m,mod=1000000007,ans=1;
void fastpow(long long a,long long b)
{
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%mod,b--;
		b/=2,a=a*a%mod;
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&m),fastpow(2,m-1);
	printf("%lld",(m-2)*ans%mod+1);
	return 0;
}