[FZOJ183] 「2019冬令营提高组」排序（堆）

题意

• 在选择排序的$\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}$判断中，求出第$\mathrm{K}$次判断后的序列。

我们可以求出第$\mathrm{K}$次判断后执行了$\mathrm{k}$轮的排序，那么剩下的一遍暴力做就好了。

考虑怎么求出执行$\mathrm{k}$轮后的序列，我们依次确定第$\mathrm{k}+1$位到第$\mathrm{n}$位的数，假设我们当前正在考虑第$\mathrm{i}$位是什么，那么在$\mathrm{k}$轮排序后第$\mathrm{i}$个位置上的值是$1$到$\mathrm{i}-1$中第$\mathrm{k}$小的值$\mathrm{t}\mathrm{p}$与${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$中较大的那一个，我们来证明一下这个为什么是对的。

假设执行了一轮，结论显然正确，那么假设执行了$\mathrm{k}-1$轮，我们来证明第$\mathrm{k}$轮后的序列满足以上结论。

先要了解一个小结论：

• 第$\mathrm{k}$轮排序后对于$\forall \mathrm{i}>\mathrm{k}$，区间$[1,\mathrm{i}-1]$的第$\mathrm{k}$小的值与初始序列中$[1,\mathrm{i}-1]$的第$\mathrm{k}$小值是相等的。
• 这个应该不是很难证明，第$\mathrm{k}$轮排序到$\mathrm{i}$的过程，只是把$[\mathrm{k},\mathrm{i}-1]$的最小值放在了${\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}$的位置，在$\mathrm{i}$前面的交换只是内部交换。而当前轮以后的交换过程，同样只会影响$[1,\mathrm{i}-1]$中第$\mathrm{k}$小的数的位置，被移动的这个数不会成为第$\mathrm{k}+1$轮排序时$[1,\mathrm{i}-1]$中第$\mathrm{k}+1$小的数，不会影响答案。

第$\mathrm{k}$轮排序后倘若${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}>\mathrm{t}\mathrm{p}$，又因为${\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\le \mathrm{t}\mathrm{p}$，此时不会发生交换。如果${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}<\mathrm{t}\mathrm{p}$，被换到第$\mathrm{i}$个位置的就是$\mathrm{t}\mathrm{p}$。设$[1,\mathrm{i}-1]$中有$\mathrm{j}$个数比${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$小，那么前$\mathrm{j}$轮${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$的位置不会有变化，而到第$\mathrm{j}+\mathrm{c}（\mathrm{c}>0）$轮时，当${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$被换到${\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+\mathrm{c}}$上时，${\mathrm{a}}_{\mathrm{j}+\mathrm{c}}$此时的值一定是$[1,\mathrm{i}-1]$中第$\mathrm{j}+\mathrm{c}$小的值，依次类推到了第$\mathrm{k}$轮，那么被换到${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$上的就是是$[1,\mathrm{i}-1]$中第$\mathrm{k}$小的值，结论得证。

因为有我们之前证明的那个小结论，我们算出$\mathrm{k}$后对于初始序列用大根堆维护到当前位置的前$\mathrm{k}$小的数即可，复杂度$\text{O(n log n)}$。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++ i) 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

long long cnt;

int n, k, a[N], b[N];

priority_queue <int> q; 

int main() {

	cin >> n >> cnt;
	For(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i];
	For(i, 1, n) {
		if (cnt < n - i) break;
		cnt -= n - i, k = i;
		q.push(a[i]), b[i] = i;
	}
	if (k) For(i, k + 1, n) { 
		b[i] = max(a[i], q.top());
		q.push(a[i]), q.pop();
	}
	For(j, k + 2, n) {
		if (!(cnt --)) break;
		if (b[j] < b[k + 1]) 
			swap(b[j], b[k + 1]);
	}
	For(i, 1, n) printf("%d%c", b[i], i == n ? '\n' : ' ');

	return 0;
}