排序不等式证明

今天考题有个结论要用排序不等式证明…

为什么他们猜到了结论我什么都不知道啊…

证明参考了https://blog.youkuaiyun.com/lanchunhui/article/details/52497375

排序不等式是干嘛的呢 首先有两个数列$a,b$

满足$a_1\le a_2\le ...\le a_n,b_1\le b_2\le ...\le b_n$

满足顺序和 $\ge$ 乱序和 $\ge$ 逆序和

顺序和$=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$

乱序和$=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{p_i}$ 其中$p$是$1-n$的一个排列

逆序和$=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_{n-i+1}$

先证明顺序和 $\ge$ 乱序和

设$s_k=\sum _{i=1}^k{b}_i,s_k^{\prime }=\sum _{i=1}^k{b}_{p_i}$

那么有$s_k\le s_k^{\prime },s_n=s_n^{\prime }$ 这个 比较显然 最小的几个肯定比任选几个小

又因为$a_i-a_{i+1}\le 0$

那么$s_i(a_i-a_{i+1})\ge s_i^{\prime }(a_i-a_{i+1})$

对于顺序和的每一项我们可以用$a_i(s_i-s_{i-1})$表示出来

那么$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i(s_i-s_{i-1})=\sum _{i=1}^{n-1}{s}_i(a_i-a_{i+1})+a_n{s}_n$

同理乱序和 $=\sum _{i=1}^{n-1}{s}_i^{\prime }(a_i-a_{i+1})+a_n{s}_n^{\prime }$

由于正序和每一项都大于等于乱序和 所以正序和大于等于乱序和得证

乱序和大于等于逆序和也可以用这个方法证明。