最近公共祖先

原创已于 2023-10-01 15:02:20 修改 · 80 阅读

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#c++ #算法

于 2023-09-30 22:27:30 首次发布

最近公共祖先（ $L C A$ ， $L o w es tC o mm o n A n C es t or$ ）

在一棵树形结构中，有两个节点 $x$ 和 $y$ 的公共祖先中深度最大的一个。

$L C A$ 的实现

方法1：暴力染色

1.从 $x$ 网上走到根节点，并沿途染色。
2从 $y$ 往上走到根节点，沿途遇到的第一个染色的第一个染色节点即为 $x$ 和 $y$ 的，记为 $l c a (x, y)$ 。
时间复杂度 $O (N)$ 。

方法2：倍增求 $L C A$

第一大步：预处理 $d p [i] [j]$ 表示点 $i$ 线上走 $2$ 的 $j$ 次方步到达的结点编号。
$d p [i] [j] = d p [d p [i] [j - 1]] [j - 1]$
初始状态：
$d p [i] [0] = f a [i]$
时间复杂度预处理 $O (N)$ ，调用 $O(log N) $。
第二大步：询问一对 $(x, y)$ 的 $L C A$ 。
1.约定点 $y$ 的深度更大，若 $d e p [y] < d e p [x]$ ,则 $s w a p (x, y);$
2.点 $y$ 向上倍增跳跃至于 $x$ 的深度一致，并判断是否重合。
3. $x$ 和 $y$ 一起向上倍增跳跃直到两者相等。
$L C A$ 的应用：
1.求树上两点之间的距离 $d i s [x] + d i s [y] - 2 * d i s [l c a (x, y)]$ ,其中地上 $d i s$ 表示根节点到点 $x$ 的距离

其他方法由于没有学，并没有写在这里，多请谅解。

//预处理
void pre_lca(int cur,int fa)//cur的父节点是fa
{
	dp[cur][0]=fa;//边界条件
	dep[cur]=dep[fa]+1;//深度 
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)//指数 
		dp[i][j]=dp[dp[i][j-1]][j-1];
	for(int i=0;i<v[x].size();i++)//循环cur的相邻节点 
	{
		int nxt=v[cur][i];
		if(nxt!=fa)
			pre_lca(nxt,cur);
	}
}

void lca(int x,int y)//x和y的最近公共祖先
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])//让y上跳与x保持一致
			y=dp[y][i];//y跳
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)//x和y一起往上跳
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
}

实践

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

接着就可以AC P3379 【模板】最近公共祖先 LCA了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
int n,m,s,a[N],dp[N][25],dep[N];
vector<int>v[N];
void pre_lca(int cur,int fa)
{
	dp[cur][0]=fa;
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)
		dp[cur][i]=dp[dp[cur][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<v[cur].size();i++)
	{
		int nxt=v[cur][i];
		if(nxt!=fa)
			pre_lca(nxt,cur);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])
			y=dp[y][i];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
} 
int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}	
	pre_lca(s,0);
	while(m--)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<lca(x,y)<<'\n';
	}
	return 0;
}

1552：【例 1】点的距离

这道题目由于没有边权，所以很好做， $x$ 和 $y$ 的距离只需要通过 $d e p [x] + d e p [y] - 2 * d e p [l c a (x, y)]$ 就能得到。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,s,a[N],dp[N][25],dep[N];
vector<int>v[N];
void pre_lca(int cur,int fa)
{
	dp[cur][0]=fa;
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)
		dp[cur][i]=dp[dp[cur][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<v[cur].size();i++)
	{
		int nxt=v[cur][i];
		if(nxt!=fa)
			pre_lca(nxt,cur);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])
			y=dp[y][i];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
} 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}	
	pre_lca(1,0);
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)]<<'\n';
	}
	return 0;
}

1556：Dis

这道题在前一体的基础上也很容易，只需要在初始化 $L C A$ 时将 $d i s [i]$ 维护一下， $d i s [i]$ 表示第 $i$ 个点到树根的距离。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct edge{
	int to,w;
};
int n,m,s,a[N],dp[N][25],dep[N],dis[N];
vector<edge>v[N];
void pre_lca(int cur,int fa)
{
	dp[cur][0]=fa;
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)
		dp[cur][i]=dp[dp[cur][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<v[cur].size();i++)
	{
		int nxt=v[cur][i].to,w=v[cur][i].w;
		if(nxt!=fa)
		{
			dis[nxt]=dis[cur]+w;
			pre_lca(nxt,cur);
		}
	}
	return ;
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])
			y=dp[y][i];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
} 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		v[x].push_back((edge){y,z});
		v[y].push_back((edge){x,z});
	}	
	pre_lca(1,0);
	while(m--)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<dis[x]+dis[y]-2*dis[lca(x,y)]<<'\n';
	}
	return 0;
}

1557：祖孙询问

这个题就 $3$ 种情况， $x$ 是 $x$ 和 $y$ 的公共祖先，则 $x$ 是 $y$ 的祖先，反之亦然，如果两种情况都不是，就是平辈。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,s,a[N],dp[N][30],dep[N],dis[N];
vector<int>v[N];
void pre_lca(int cur,int fa)
{
	dp[cur][0]=fa;
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)
		dp[cur][i]=dp[dp[cur][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<v[cur].size();i++)
	{
		int nxt=v[cur][i];
		if(nxt!=fa)
			pre_lca(nxt,cur);
	}
	return ;
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=22;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])
			y=dp[y][i];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=22;i>=0;i--)
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
} 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y;
		if(y==-1)
		{
			s=x;
			continue; 
		} 
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}	
	pre_lca(s,0);
	cin>>m;
	while(m--)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y;
		z=lca(x,y);
		if(x==z)
			cout<<"1\n";
		else if(y==z)
			cout<<"2\n";
		else 
			cout<<"0\n";
	}
	return 0;
}

P3398 仓鼠找 sugar

首先我们要知道，我们容易发现，如果相交，记 $x = l c a (a, b)$ ， $y = l c a (c, d)$ ，则必有 $x$ 在 $c$ ~ $d$ 路径上或 $y$ 在 $a$ ~ $b$ 路径上，再想想，如果 $x$ 在 $a$ ~ $b$ 上，则 $x$ 到 $a$ 的距离加上 $x$ 到 $b$ 的距离一定等于 $a$ 到 $b$ 的距离，否则 $x$ 一定不在 $a$ ~ $b$ 上，另一个也一样。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,s,a[N],dp[N][30],dep[N];
vector<int>v[N];
void pre_lca(int cur,int fa)
{
	dp[cur][0]=fa;
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[cur];i++)
		dp[cur][i]=dp[dp[cur][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<v[cur].size();i++)
	{
		int nxt=v[cur][i];
		if(nxt!=fa)
			pre_lca(nxt,cur);
	}
	return ;
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=22;i>=0;i--)
		if(dep[dp[y][i]]>=dep[x])
			y=dp[y][i];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=22;i>=0;i--)
		if(dp[x][i]!=dp[y][i])
			x=dp[x][i],y=dp[y][i];
	return dp[x][0];
} 
int dis(int x,int y)
{
	return dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)];
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}	
	pre_lca(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b,c,d;
		cin>>a>>b>>c>>d;
		int p1=lca(a,b),p2=lca(c,d);
		if(dis(c,p1)+dis(d,p1)==dis(c,d)||dis(a,p2)+dis(b,p2)==dis(a,b))
			cout<<"Y\n";
		else
			cout<<"N\n";
	}
	return 0;
}