第十一届蓝桥杯省赛CB第一场-9.整数拼接【同余】

Date：2022.04.06
题意描述：
给定一个长度为 n 的数组 A1,A2,⋅⋅⋅,An。
你可以从中选出两个数 Ai 和 Aj(i 不等于 j)，然后将 Ai 和 Aj 一前一后拼成一个新的整数。
例如 12 和 345 可以拼成 12345 或 34512。
注意交换 Ai 和 Aj 的顺序总是被视为 2 种拼法，即便是 Ai=Aj 时。
请你计算有多少种拼法满足拼出的整数是 K 的倍数。
输入格式
第一行包含 2 个整数 n 和 K。
第二行包含 n 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,An。
输出格式
一个整数代表答案。
数据范围
1≤n≤10^5,
1≤K≤10^5,
1≤Ai≤10^9
输入样例：
4 2
1 2 3 4
输出样例：
6
思路①：硬枚举$O(n^2)$。
思路②：我们观察到拼成的两个数$A_i{A}_j$有以下性质：
$(A_i\ast 10^{len(A_j)}\%m+A_j\%m)\%m==0$。
举个例子：$3465\%35==0$，其中$3400\%35==5、65\%35==30$；
$3535\%35==0$，其中$3500\%35==0、35\%35==0$。
因此我们发现，用两个数拼接出来的数只有对$mod$取模相加再对$mod$取模为0时，或者对$mod$取模都为0且相等时才能整除$mod$。而这两种情况，可归结为取模相加再取模为0。
因此，我们对每个数$a[i]$找到它前面加上哪些数可以凑出$(a[i]\%mod+x\%mod)\%mod==0$，也就是要找到所有$x\%mod==(mod-a[i]\%mod)\%mod$的、且能放到$a[i]$前面的（也就是恰好乘了$10^{a[i]}$的数）。
由此，我们预处理出所有$c[i][j]:$所有向左移$i$位（也就是乘了$10^i$），且$\%mod$为$j$的数有多少个。
此外，注意题意要求下标不能相同，但$a[i]\ast 10^{a[i]}$也有可能可以加到$a[i]$前，因此判断$(a[i]\%mod+10^{a[i]}\%mod)\%mod==0$是否成立，若成立则说明他可以加到$a[i]$前，因此要把它去掉，-1。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const int N=1e5+10;
LL n,m,a[N],c[64][N],len[N];
LL q10(LL a,LL k,LL mod)
{
    LL x=a;
    for(int i=1;i<=k;i++) x=x*10%mod;
    return x;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;memset(c,0,sizeof c);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin>>a[i];string ss=to_string(a[i]);len[i]=ss.length();
		LL x=a[i],cnt=0;
		for(int j=1;j<=18;j++)
		{
			x=x*10%m;
			c[++cnt][x%m]++;
		}
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(c[len[i]][(m-a[i]%m)%m])
			ans+=(c[len[i]][(m-a[i]%m)%m]);
		if((q10(a[i],len[i],m)%m+a[i]%m)%m==0) ans--;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}