第五届蓝桥杯省赛CB 10.小朋友排队【BIT】

Date：2022.04.02
题意描述：
n 个小朋友站成一排。
现在要把他们按身高从低到高的顺序排列，但是每次只能交换位置相邻的两个小朋友。
每个小朋友都有一个不高兴的程度。
开始的时候，所有小朋友的不高兴程度都是 0。
如果某个小朋友第一次被要求交换，则他的不高兴程度增加 1，如果第二次要求他交换，则他的不高兴程度增加 2（即不高兴程度为 3），依次类推。当要求某个小朋友第 k 次交换时，他的不高兴程度增加 k。
请问，要让所有小朋友按从低到高排队，他们的不高兴程度之和最小是多少。
如果有两个小朋友身高一样，则他们谁站在谁前面是没有关系的。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n，表示小朋友的个数。
第二行包含 n 个整数 H1,H2,…,Hn，分别表示每个小朋友的身高。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示小朋友的不高兴程度和的最小值。
数据范围
1≤n≤100000,
0≤Hi≤1000000
输入样例：
3
3 2 1
输出样例：
9
样例解释
首先交换身高为3和2的小朋友，再交换身高为3和1的小朋友，再交换身高为2和1的小朋友，每个小朋友的不高兴程度都是3，总和为9。

思路：显然最优解是每次将最大的放到最后，因此这个过程涉及逆序对个数，考虑BIT，且范围不大开得下不必离散化。由此，每个数换到后面的障碍则为其后面比它严格小的数（题意规定俩数相等交换无意义），也就是说每个数向后换要和它后面每个严格<它的数交换一次，因此这个数$a[i]$要交换其后面$<a[i]$的数的个数次，因此加上次数；同时这些在$a[i]$后且$<a[i]$的数每个也要与$a[i]$交换一次要+1。
这样一想，统计$<a[i]$的好办，但是后面将每个$<a[i]$的数都依次+1不太好办。（感觉这里可以维护某个差分的sum然后乱搞一下，不过有些乱）。对于后面这块逆着想，如果每次碰见其前面>它的时它都要+1，这不就相当于看其前面有多少数>它吗？？？因此每个数$a[i]$的总交换次数即为其后面$<a[i]$+其前面$>a[i]$的和。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef long long LL;
LL n,m,a[N],tr[N],sum[N];
LL lowbit(LL x) {return x&-x;}
void add(LL x,LL c)
{
    for(int i=x;i<N;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}
LL getsum(LL x)
{
    LL res=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
    return res;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];a[i]++;}
    for(int i=n;i>=1;i--)//后面多少比它小
    {
        sum[i]+=getsum(a[i]-1);
        add(a[i],1);
    }
    memset(tr,0,sizeof tr);
    for(int i=1;i<=n;i++)//前面多少比它大
    {
        sum[i]+=(getsum(N-1)-getsum(a[i]));
        add(a[i],1);
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=(1+sum[i])*sum[i]/2;
    cout<<ans;
    return 0;
}