第七届蓝桥杯省赛CB 8.四平方和【二分】

Date：2022.03.22
题意描述：
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。
如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。
比如：
5=02+02+12+22
7=12+12+12+22
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 4 个数排序：
0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 N。
输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围
0<N<5∗106
输入样例：
5
输出样例：
0 0 1 2

思路：二分，玄学二分老半天，发现精度不太对…显然枚举前俩数，第三个数可二分查表，第四个数间接求出无需枚举。由此，打一个$c^2+d^2$的表，供枚举$a^2+b^2$时查。由于要求字典序最小，因此$a、b$只需由小到大枚举，但是$c、d$呢？首先，我们二分查表要有单调性，因此首先应以$c^2+d^2$递增的顺序排序，其次分别按$c、d$作为第2、3关键字由小到大排序。此外，无须担心怎么控制$c>=b$的问题，因为一定有解，且$a、b$由小到大枚举，因此若有解$a、b$一定都是最小的，显然不会存在$c>b$的问题，否则$b、c$互换一下显然也可以。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e6+10;
LL n;
struct node
{
    LL sum,c,d;
    bool operator <(const node&t)const
    {
        if(t.sum!=sum) return sum<t.sum;
        if(t.c!=c) return c<t.c;
        return d<t.d;
    }
}s[N];
int main()
{
    cin>>n;LL cnt=0;
    //打表c、d
    for(int c=0;c*c<=n;c++)
        for(int d=c;c*c+d*d<=n;d++) s[++cnt]={c*c+d*d,c,d};
    //按c^2+d^2、c、d优先级，从小到大排序，这样才能保证字典序最小。
    sort(s+1,s+1+cnt);
    //这里不需考虑怎么保证c>=b，因为a、b由小到大枚举，只要有解第一次找到时一定存在这种情况。
    //只是c、d不能保证字典序最小，已解决。
    for(int a=0;a*a<=n;a++)
        for(int b=a;a*a+b*b<=n;b++)
        {
            LL t=n-a*a-b*b;
            LL l=1,r=cnt;
            while(l<r)
            {
                LL mid=l+r>>1;
                if(s[mid].sum>=t) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            if(s[l].sum==t)
            {
                cout<<a<<' '<<b<<' '<<s[l].c<<' '<<s[l].d;
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}