四平方和定理 leetcode279 c++

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 
12

输出: 3 
解释: 
12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n = 
13

输出: 2
解释: 
13 = 4 + 9.

很多人第一眼看到这个问题，想到的第一种做法就是使用贪心算法，但是对于这个问题是不适用的，例如：

如果贪心来做，12 = 9 + 1 + 1 + 1，所以答案为4了，但是实际答案是3。

 

Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。

引理 1 (Euler 四平方恒等式)： (a2+b2+c2+d2)(w2+x2+y2+z2) = (aw+bx+cy+dz)2 + (ax-bw-cz+dy)2 + (ay+bz-cw-dx)2 + (az-by+cx-dw)2， 其中 a, b, c, d, w, x, y, z 为任意整数。

引理 2： 如果一个偶数 2n 是两个平方数之和， 那么 n 也是两个平方数之和。

引理 3： 如果 p 是一个奇素数， 则存在正整数 k， 使得 kp = m2+n2+1 (其中 m， n 为整数)。

还有一个重要的推论：

我们可以先判断这个数是否满足