【进阶指南】搜索 - 矩阵距离【多源BFS】

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#宽度优先 #算法 #c++

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这篇博客介绍了一个算法问题，即给定一个01矩阵，计算每个0到最近的1的曼哈顿距离。通过构建虚拟顶点并进行BFS搜索，可以有效地解决这个问题。代码实现中使用了C++，并展示了如何进行单源最短路径的求解。

Date：2022.02.16
题意：
给定一个 N 行 M 列的 01 矩阵 A，A[i][j] 与 A[k][l] 之间的曼哈顿距离定义为：
$d i s t (A [i] [j], A [k] [l]) = ∣ i - k ∣ + ∣ j - l ∣$
输出一个 N 行 M 列的整数矩阵 B，其中：
$B[i][j]=min_{1≤x≤N,1≤y≤M,A[x][y]=1}dist(A[i][j],A[x][y])$
输入格式
第一行两个整数 N,M。
接下来一个 N 行 M 列的 01 矩阵，数字之间没有空格。
输出格式
一个 N 行 M 列的矩阵 B，相邻两个整数之间用一个空格隔开。
数据范围
1≤N,M≤1000
输入样例：
3 4
0001
0011
0110
b
3 2 1 0
2 1 0 0
1 0 0 1

思路：直接做每个 $A [i] [j] = = 1$ 的单源BFS会t。假设有一个虚拟顶点连起所有 $A [i] [j] = = 1$ 的点，并由此转化为单元BFS，逐层扩展。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 1010;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
char c[N][N];
LL n,m,d[N][N];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
void bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof d);queue<PII>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) if(c[i][j]=='1') {q.push({i,j});d[i][j]=0;}
    while(q.size())
    {
        PII t=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            LL ix=t.x+dx[i],iy=t.y+dy[i];
            if(ix<1||iy<1||ix>n||iy>m||d[ix][iy]!=-1) continue;
            q.push({ix,iy});d[ix][iy]=d[t.x][t.y]+1;
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) cin>>c[i][j];
    bfs();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++) cout<<d[i][j]<<' ';
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}