cf1165 Round #560 Div3-D【欧拉筛+快速幂+约数个数】

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该博客主要探讨了一道数学与算法相结合的问题，涉及数论和质因数分解。给定一个数列，包含某个数x的所有非1非自身的约数，目标是找出可能的x值或者输出-1表示无法确定。博主通过分析得出，x的约数个数减2应当等于数列的长度，并提出了通过欧拉筛和质因子分解的方法来寻找x。在代码实现中，博主使用了质数表、高精度快速幂运算以及试除法，通过判断累乘结果是否等于数列最大值来确定x。

Date：2022.01.05

题意：给定一串数，这串数包含除了1和x本身外x的所有约数，求能不能得出一个x，或得不出一个x（输出-1）。

T=25，n=300，m= $10^6$

思路①：
首先，x什么时候不存在？
题目说明是除了1和x的所有约数，因此个数一定是x的约数个数-2，因此得到x的所有质因子后，即求出x的约数个数即可判断x是否正确，而x的所有质因子一定在其所有约数中，因此可行。
其次，x怎么得出？
毫无疑问，x是所有数的倍数，因此x一定是所有数的所有质因子的最高次幂的倍数，由此便能对每个数分解质因子，求出所有数中每个质因子的最高次幂，试除法筛一遍质因子， $O(T∗n∗mO(T*n*\sqrt{m}$ )。此时我们统计出了所有质因子的最高次幂，欧拉筛打一个 $m=10^6$ 以内的质数表（根据质数定理，质数约等于 $m / l n m$ 不超过 $10^5$ 个，因此结合t不超过 $O (T * m / l n m)$ ），用于累乘每一个质因子的最高次幂。但是累乘完得出的不一定是x（因为数列中的最大元素可能等于当前 $p_i^{a_i}$ 的累乘结果，因此不是x），那此时怎么办？要让x最小，因此一定乘的是最小的那个质因子，这样得出的一定是x！因此，我们只需要判断累乘结果是否为数列中最大元素，若是，则再乘一个最小质因子后变为x；若不是，则累乘结果一定是x。有点啰嗦，看代码吧。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef unsigned long long LL;
LL a[N];
LL t,n,m;
LL cnt,prime[N];
bool st[N];
void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
LL qmi(LL a,LL k)
{
    LL res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res*=a; 
        a=a*a;k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    init(N-1);
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        map<LL,LL>q;
        cin>>n;LL maxx=-1e18;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            cin>>a[i];maxx=max(a[i],maxx);
            int m=a[i];
            for(int j=2;j<=m/j;j++)
            {
                if(m%j==0)
                {
                    LL s=0;
                    while(m%j==0) {s++;m/=j;}
                    q[j]=max(q[j],s);
                }
            }
            if(m>1) q[m]=max(q[m],(LL)1);
        }
        LL res=1,ans=1;//res：累乘结果 ans：所求约数个数
        bool flag=true;LL xx=0;
        for(int i=0;i<cnt;i++)
        {
            if(q[prime[i]]>0)
            {
                if(!flag)//这里简化了，最小质因子先不乘进去，先判断累乘完是不是x
                    ans=ans*(q[prime[i]]+1);
                if(flag)
                {xx=prime[i];flag=false;}
                res=res*qmi(prime[i],q[prime[i]]);
            }
        }
        if(maxx<res)
        {
            ans=ans*(q[xx]+1);//累乘结果即为x，只乘一个最小质因子即可
            if(n!=ans-2) {cout<<-1<<endl;continue;}
            cout<<res<<endl;
        }
        else 
        {
            ans=ans*(q[xx]+2);//累乘结果在数列中，多乘一个最小质因子
            if(n!=ans-2) {cout<<-1<<endl;continue;}
            cout<<res*xx<<endl;
        }
    }
    return 0;
}