代码随想录 Day 42 | 【第九章动态规划 part 05】完全背包、518. 零钱兑换 II、377. 组合总和 Ⅳ、70. 爬楼梯（进阶）

一、完全背包

完全背包

视频讲解：带你学透完全背包问题！和 01背包有什么差别？遍历顺序上有什么讲究？_哔哩哔哩_bilibili

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html

1. 完全背包和0-1背包的区别

完全背包的物品可以使用无数次；而0-1背包的物品只能使用1次（倒序遍历）。

2. 遍历顺序

遍历背包和遍历物品的层序可以颠倒。

3. 代码实现

def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
    dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]

    # 初始化
    for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]

    # 动态规划
    for i in range(1, n):
        for j in range(bag_weight + 1):
            if j < weight[i]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])

    return dp[n - 1][bag_weight]

# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
    w, v = map(int, input().split())
    weight.append(w)
    value.append(v)

# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))

二、518. 零钱兑换 II

518. 零钱兑换 II

视频讲解：动态规划之完全背包，装满背包有多少种方法？组合与排列有讲究！| LeetCode：518.零钱兑换II_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 具体思路

（1）明确DP数组的含义：装满容量为 j 的背包，有DP[j]的方法。最终求的是背包容量dp[amount]。

（2）递推公式：dp[j] += dp[j-coins[i]]

（3）DP数组初始化：dp[0]=1，因为dp数组递推公式是累加的，所以如果初始化为0，那么无论如何递推都全为0。这样初始化的含义是装满背包为0的有1种方法。

（4）遍历顺序：本题是求装满背包有多少种方法。1）先遍历物品，再遍历背包：均是从小到大遍历，得到的是组合数，只有（1，2）；2）先遍历背包，再遍历物品：得出的排列数，有（1，2）和（2，1）。

（5）打印DP数组。

2. 代码实现

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (amount+1)
        dp[0] = 1
        for coin in coins:
            for j in range(coin, amount+1):
                dp[j] += dp[j-coin]
        return dp[amount]

三、377. 组合总和 Ⅳ

377. 组合总和 Ⅳ

视频讲解：动态规划之完全背包，装满背包有几种方法？求排列数？| LeetCode：377.组合总和IV_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 具体实现

本题与上一题非常相似，本质上求的是排列数，所以是先遍历背包再遍历物品。

2. 代码实现

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(target+1):
            for j in nums:
                if i-j>=0:
                    dp[i] += dp[i-j]
        return dp[target]