代码随想录 Day 41 | 【第九章动态规划 part 04】1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零

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一、1049. 最后一块石头的重量 II

本题就和昨天的 416. 分割等和子集很像了，可以尝试先自己思考做一做。

视频讲解：动态规划之背包问题，这个背包最多能装多少？LeetCode：1049.最后一块石头的重量II_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 具体思路

将石头分为近似大小和重量的两堆，最后两两相撞最多只剩下一块石头。

（1）dp数组的含义：装满容量为j的背包它的最大重量为dp[j]。

（2）递推公式：本题中石头的重量就是石头的价值，递推公式为dp[j] = max(dp[j], dp[j-stones[i]]+stones[i])

（3）dp数组初始化：dp[0]=0，容量为0所以重量也为0。非0下标也初始化为0，因为必须为非负，且后续需要比较最大值，所以只能初始化为0。此处需要注意定义dp数组的大小，由于题目描述为1 <= stones.length <= 30且1 <= stones[i] <= 100，所以30*100/2=1500，定义dp数组大小为1500即可。

（4）遍历顺序：第一层for循环遍历的是每个石头；第二层遍历的是背包，并且需要从大到小进行遍历，保证每个物品只放一次；target就是sum/2，凑这样大的一个背包，并且第二层需要保证当前容量大于石头。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        dp = [0] * 15001
        total_sum = sum(stones)
        target = total_sum // 2
        for i in stones:
            for j in range(target, i-1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-i]+i)
        return total_sum - dp[target]-dp[target]

二、494. 目标和

大家重点理解递推公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]，这个公式后面的提问我们还会用到。

视频讲解：动态规划之背包问题，装满背包有多少种方法？| LeetCode：494.目标和_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 具体思路

（1）定义dp数组：装满容量为 j 的背包有dp[ j ]种方法。

（2）递归公式：dp[ j ] += dp[ j-nums[i]]

（3）dp数组初始化：dp[0] = 1，不可以初始化为0，因为递推公式会一直是0。非0下标初始化为0即可，因为需要进行累加操作，如果初始为非0 ，那么会影响递归公式的推导。

（4）遍历顺序：第一层遍历物品，第二层遍历背包容量（倒序），因为每个背包只能使用一次，所以是倒序。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

计算总和 total_sum：
- 计算数组 nums 的总和是正确的第一步，用于后续判断。
提前返回0的情况：
- 如果 abs(target) 大于 total_sum，则不可能通过选取数组中的元素来达到目标值（考虑正负情况）。
- 如果 (target + total_sum) % 2 == 1，意味着目标和为奇数，而数组中的元素总和为偶数（或反之），那么也无法通过选取元素达到目标值（因为选取元素相当于做加减运算，无法改变总和的奇偶性）。
目标和 target_sum：
- 这里的 target_sum 实际上是将问题转化为背包问题中的“不超过某个目标和的最大值问题”。因为 target 可以是负数，所以通过 target + total_sum 将其转化为非负问题，然后除以2得到我们需要达到的一半和（因为我们可以选择一部分元素使其和为某个值，剩下的元素和就是 total_sum 减去这个值，两者和等于 total_sum + target，即目标和为 (target + total_sum) // 2）。
动态规划数组 dp：
- dp[j] 表示选取若干元素和为 j 的方案数。
- 初始化 dp[0] = 1 是正确的，表示和为0（即不选取任何元素）的方案数为1。
状态转移方程：
- dp[j] += dp[j - num] 表示在已经考虑了和为 j-num 的方案数基础上，加上当前元素 num 可以得到和为 j 的方案数。
- 注意循环的范围，这里应该是 range(target_sum, num - 1, -1) 改为 range(target_sum, num - 1, -1) 实际上是有问题的，因为当 j = num - 1 时，dp[j - num] 会访问 dp[-1]，这是越界的。正确的范围应该是 range(target_sum, num - 1, -1) 改为 range(target_sum, num - 1, -1) 的上界调整为 num（包含 num），即 range(target_sum, num - 1, -1) 改为 range(target_sum, num, -1)。但更常见的写法是从 target_sum 到 num（不包含 target_sum - num < 0 的情况），即 range(max(target_sum - num, 0), target_sum + 1)。不过由于 j 从 target_sum 开始递减，且我们关心的是 dp[j] 的更新不依赖于未来的 dp[j+k]（k>0），所以只需要保证不越界即可。

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        sum_total = sum(nums)
        target_sum = (sum_total + target) // 2
        if abs(target) > sum_total:
            return 0
        if (target + sum_total) % 2 == 1:
            return 0
        dp = [0] * (target_sum+1)
        dp[0] = 1
        for i in nums:
            for j in range(target_sum, i-1, -1):
                dp[j] += dp[j-i]
        return dp[target_sum]

三、474.一和零

通过这道题目，大家先粗略了解， 01背包，完全背包，多重背包的区别，不过不用细扣，因为后面对于完全背包，多重背包还有单独讲解。

视频讲解：动态规划之背包问题，装满这个背包最多用多少个物品？| LeetCode：474.一和零_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 具体思路

首先这道题属于0-1背包的题目，而不是多重背包，只限制了一个背包最多装多少种物品。

（1）定义dp数组及初始化：初始化一个二维动态规划数组 dp，大小为 (m+1) x (n+1)，dp[i][j] 表示在至多有 i 个 '0' 和 j 个 '1' 的条件下，可以选择的最大字符串数量；
（2）遍历字符串数组 strs 中的每一个字符串 s，统计字符串 s 中 '0' 的数量，统计字符串 s 中 '1' 的数量；
（3）遍历顺序这里的 range 条件应该包含 zero 和 one，以确保考虑到当前字符串 s，但是从后向前遍历（逆序）是为了避免重复使用同一个字符串 s；
（4）dp数组递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-zero][j-one] + 1)
（5）打印dp数组：返回最终结果，在至多有 m 个 '0' 和 n 个 '1' 的条件下，可以选择的最大字符串数量，return dp[m][n]。

2. 代码实现

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for s in strs:
            one = s.count('1')
            zero = s.count('0')
            for i in range(m, zero-1, -1):
                for j in range(n, one-1, -1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-zero][j-one]+1)
        return dp[m][n]