Divisibility Part1（整除理论1）

Divisibility Part1

学习本节的基础：任意个整数之间进行加、减、乘的混合运算之后的结果仍然是整数。之后将不申明地承认这句话的正确性并加以运用。

用一个不为$0$的数去除另一个数所得的商却不一定是整数（$a$除$b$，写作$\frac{b}{a}$，$a$除以$b$，写作$\frac{a}{b}$），所以我们需要引进整除的概念，这节会对整除进行深入讨论。

接下来，我们会给出定义，且给出并证明定义引申出的定理，最后对这些加以运用。

定义 $1$ 设 $a,b$ 是任意两个整数，其中 $b\ne 0$，如果存在一个整数 $q$，使得等式
$$a=bq(1)$$
成立，我们就说 $b$ 整除 $a$ 或 $a$ 被 $b$ 整除，记作 $b|a$，此时我们把 $b$ 叫做 $a$ 的因数，把 $a$ 叫做 $b$​ 的倍数。

如果 $(1)$ 里面的整数 $q$ 不存在，我们就说 $b$ 不能整除 $a$，记作 $b\nmid a$ 。

接下来从定义出发，证明一些关于整除的基本定理。

定理 $1$（传递性） 若 $a$ 是 $b$ 的倍数，$b$ 是 $c$ 的倍数，则 $a$ 是 $c$ 的倍数，也就是
$$b|a,c|b\Rightarrow a|c$$
证 由定义 $1$，可知 $b|a,c|b$，所以存在两个整数 $a_1,b_1$，使得
$$a=a_{1}b,b=b_{1}c$$
成立，因此
$$a=(a_1{b}_1)c$$
又因为 $a_1,b_1$ 是整数，所以 $c|a$。

定理 $2$ 若 $a,b$ 都是 $m$ 的倍数，那么 $a\pm b$ 也是 $m$ 的倍数。

证 $a,b$ 都是 $m$ 的倍数，所以存在两个整数 $a_1,b_1$，使得
$$a=a_{1}m,b=b_{1}m$$
$a\pm b$ 可以写作
$$a\pm b=(a_1\pm b_1)m$$
因 $a_1\pm b_1$ 是整数，故 $a\pm b$ 是 $m$ 的倍数。

同样的方法可以证明

定理 $3$ 若 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 都是 $m$ 的倍数，$q_1,q_2,\cdots ,q_n$ 是任意 $n$ 个整数，则 q1a1+q2a2+⋯+qnanq_1a_1+q_2a_2+\cdots+q_na_nq1​a1​+q2​a2​+⋯+qn​a