Game Theory In Competitive Programming|Part2（原创）

在上一个Part部分，我们介绍了Bash game、Nim game、Misere Nim game 这三个游戏的玩法、必胜策略，以及必胜策略的证明，并介绍了有关必胜态以及必败态的两条定理，接下来我们会以Part1为基础，深挖其中的理论。

1、Grundy Numbers/Numbers and Mex的引入

$GrundyNumbers$ 是一种在组合游戏理论中用来分析游戏局势的数学概念。

它主要用于判断在一些特定游戏中，当前局面对先手玩家是有利的还是不利的。

具体地说，给定一个游戏状态或局面，$Grundy$数能表示这个局面的胜负情况。

定义如下：

1、如果一个局面是终止局面，其$Grundy$数为$0$。

2、对于非终止局面，其$Grundy$数定义为所有可能的下一步局面的$Grundy$​数中最小未出现的非负整数。

设当前状态为$S$，其进行一次合法操作后的可能状态集合为： { S 1 , S 2 , . . . S k } \lbrace S_1,S_2,...S_k\rbrace { S1​,S2​,...Sk​}

则有: G r u n d y ( S ) = M e x ( { G r u n d y ( S 1 ) , G r u n d y ( S 2 ) , . . . , G r u n d y ( S k ) } ) Grundy(S)=Mex(\lbrace Grundy(S_1),Grundy(S_2),...,Grundy(S_k)\rbrace) Grundy(S)=Mex({ Grundy(S1​),Grundy(S2​),...,Grundy(Sk​)})

定义Mex

集合中未出现的最小非负整数。

定义运算Mex(set)

求出集合中未出现的最小非负整数。

列表观察：

Mex(set)	结果
Mex($\varnothing$)	0
Mex({1,2,3})	0
Mex({0,2,3,4})	1
Mex({0,1,2,3,4,…,$w$})	$w+1$

下面用几个简单的游戏来验证$Grundy$数：

Game1

题目：

有一堆数量为$n$的石子，两个人轮流操作，每次操作可以取走任意数量的石子（不能不取）。

取走最后一个石子的玩家获胜。

列表观察 $0\sim 10$​的Grundy Numbers：

$Grundy(0)=Mex(\varnothing )=0$

G r u n d y ( 1 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) } ) = 1 Grundy(1)=Mex(\lbrace Grundy(0)\rbrace)=1 Grundy(1)=Mex({ Grundy(0)})=1

G r u n d y ( 2 ) = M e x ( { G r u n d y ( 0 ) , G r u n d y ( 1 ) } ) = 2 Grundy(2)=Mex(\lbrace Grundy(0),Grundy(1)\rbrace)=2 Grundy(2)=Mex({ Grundy(0),Grundy(1)})=2

$...$

G r u n d y ( n ) = M e x ( { G r u n d y ( n − 1 ) , . . . , G r u n d y ( 0 ) } ) = n Grundy(n)=Mex(\lbrace Grundy(n-1),...,Grundy(0)\rbrace)=n Grundy(n)=Mex({ Grundy(n−1),...,Grundy(0)})=n

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Grundy(N)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

观察到，只有$n=$