数论：拓展欧几里得求解二元一次不定方程

拓展欧几里得算法求解二元一次不定方程

本节内容，主要围绕 为什么、怎么做、怎么写 这三个关系来讲解。

为什么？

为什么拓展欧几里得算法可以求二元一次不定方程的解？

首先明确：对于任意的$ax+by=c$都可以转化为$ax+by=gcd(a,b)$的求解。

所以只需要关注：$ax+by=gcd(a,b)$的求解过程即可。

而对于$ax+by=gcd(a,b)$的求解，也只是在$a^{\prime }x+b^{\prime }y=1$的基础上进行的拓展。

所以本质就是用$exgcd$求解$a^{\prime }x+b^{\prime }y=1$

由裴蜀定理可知，若$gcd(a,b)=d$，则一定存在一组整数解$(x,y)$满足$ax+by=d$​。

由欧几里得算法：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

所以，原问题求$(ax+by=d)$的通解，等价于求：$bx+(amodb)y=d$的通解。

而求$bx+(amodb)y=d$的通解，等价于求$(amodb)x+bmod$