换根DP例题2 CF708C

原创已于 2025-11-21 22:30:03 修改 · 780 阅读

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#换根DP

于 2025-11-21 22:28:48 首次发布

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换根DP例题2

例题2

给你一棵 $n$ 个结点的无向树，你可以执行最多一次的边替换操作，即从树中删除任意一条边，但不删除顶点，然后再往树内加一条边，且不添加新结点，操作完后该图必须是树。

对于每个结点，你需要判断是否能通过执行至多一次操作，使得它们变成树的重心。

树的重心指的是，如果我们把树的重心从树中移除，那么分裂出的连通分量的大小必须不超过 $\frac{n}{2}$ 。

数据范围： $2\le n\le 4\times10^5$ 。

题解

思绪

这题需要对每个结点都判断是否至多一次操作后能成为重心，这个特征使得我们可以往换根 DP 上思考。

接下来思考操作的最优性，若树根不是重心，只需从一棵大小大于 $\frac{n}{2}$ 的子树内找到一棵大小为 $x$ 的子树，将其摘出并连接到根上即可。

设那个大于 $\frac{n}{2}$ 的子树大小为 $s$ ，那么 $x$ 应该满足 $\begin{cases}s-x\le\frac{n}{2}\\ x\le \frac{n}{2}\end{cases}$ ，整理得 $s-\frac{n}{2}<x<\frac{n}{2}$ ，于是得到了关于每次操作所摘子树的约束。

接下来应该思考，一棵树的答案如何组成？再细致一点就是，那个大小大于 $\frac{n}{2}$ 的子树的根是谁？如何取得 $x$ ？

任意选一个结点 $u$ 作为根，设其儿子为 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ ，设 $size_u$ 表示以 $u$ 为根的子树大小。

如果 $size_{v_1},size_{v_2},\cdots,size_{v_k}$ 均不超过 $\frac{n}{2}$ ，那么 $u$ 需要 $0$ 次操作后会变为重心。
如果 $size_{v_i}>\frac{n}{2}$ ，那么要想让 $u$ 变成重心，只能去操作 $v_i$ 子树内的点。

我们希望操作完之后 $v_i$ 尽量小， $x$ 尽量大，所以我们只需要选择 $v_i$ 内的一个最大的且不大于 $\frac{n}{2}$ 的子树删去即可。如果删去之后 $v_i$ 的子树大小仍大于 $\frac{n}{2}$ ，那么说明该点经过一次操作无法成为重心。

如果以其他结点为根会比较复杂，我们可以令重心 $G$ 为根，然后如何找某个子树里的最大且不超过 $\frac{n}{2}$ 的子树呢，可以参考下面这个过程：

不妨假设当前结点是 $u$ ，我们有一个 set<PII> 存的是不包含当前 $u$ 的子树，但包含 $u$ 的父亲方向的子树内的所有小于 $\frac{n}{2}$ 的子树大小。

计算当前结点答案，因为当前结点子树必然小于 $\frac{n}{2}$ ，所以我们需要从 set 里找一个最大值，然后看一下 $n-size_u-\max$ 是否大于 $\frac{n}{2}$ 。
为下次 DFS 做准备，把当前结点向下的所有子树的 ${size_v,v\}$ 塞入 $se t$ 里面，因为子树必然大小都不超过 $\frac{n}{2}$ ，所以直接塞入即可。
开始 DFS，当遍历到 $v$ 时，我们先从 set 中删去 ${size_v,v\}$ ，**如果以 $fa_v$ 为根的子树大小（ $n-size_v$ ）不超过 $\frac{n}{2}$ 的话，我们也需要将这个子树大小插入 $se t$ 里。**此时的 set 更新完毕，所以直接进行 DFS(v, u)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18


void slove () {
    int n;
    cin >> n;

    vector <int> g[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;

        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    int G = 0;
    vector <int> siz(n + 1, 0);
    function <void (int, int)> dfs =[&] (int u, int fa) {
        siz[u] = 1;
        for (auto v : g[u]) {
            if (v == fa) continue;
            dfs (v, u);
            siz[u] += siz[v];
        }
    };
    dfs(1, 0);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bool found = true;
        if (n - siz[i] > n/2) continue;
        for (auto v : g[i]) {
            if (siz[v] > siz[i]) continue;
            if (siz[v] > n/2) found = false;
        }
        if (found) G = i;
    }

    dfs (G, 0);
    vector <int> ans (n + 1, 0);
    set <PII> t;

    function <void(int, int)> dfs2 =[&] (int u, int fa) {
        bool found = true;

        int maxn = 0;
        for (auto i = t.rbegin(); i != t.rend() ;i--) {
            if (i->second != u) {
                if (n - i->first - siz[u] > n/2) found = false;
                break;
            }
        }
        if (found) ans[u] = 1;

        for (auto v : g[u]) {
            if (v == fa) continue;
            t.insert(PII{siz[v], v});
        }

        for (auto v : g[u]) {
            if (v == fa) continue;
            t.erase(PII{siz[v], v});
            if (n - siz[v] <= n/2) t.insert(PII{n - siz[v], u});

            dfs2 (v, u);
            t.insert(PII{siz[v], v});
            if (n - siz[v] <= n/2) t.erase(PII{n - siz[v], u});
        }
    };

    dfs2 (G, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << ' ';
    cout << endl;
}

signed main () {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    slove();
}