关于扩展欧几里得算法（exgcd）的总结与复习_欧几里得算法期末复习-优快云博客

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这个算法其实很早就接触过，只不过那个时候没有好好理解与消化，导致运用的不是很到位，有些地方用得不太好，现在写一篇博客来弥补一下，顺便复习与深入理解。。。。

首先exgcd主要是gcd即欧几里得算法的扩展，首先我们可以了解一下gcd：求最大公约数

1、欧几里得算法（gcd）

又名辗转相除法，是用来计算两个数的最大公约数，其中就是利用gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)来求解。

下证gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)的正确性：
设a,b的一个公约数为d
设a mod b=r，则a=kb+r(k为整数)，r=a-kb

因为d|a, d|b

所以d|(a-kb)
理由如下：

d | (a - k b)

$d|(a-kb)$

= a - k b d

$= \dfrac{a-kb}{d}$

= a d - k b d

$=\dfrac{a}{d}-\dfrac{kb}{d}$
即d|r，而r=a mod b

所以d为b,a mod b的公约数

又因为d也为a,b的公约数，所以gcd（a,b)=gcd(b,a mod b)，所以最大公约数必然一样，得证。

int gcd(int a,int b)
{
     if (b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

2、扩展欧几里得（exgcd）

扩展欧几里得不仅能求出a,b的最大公约数，还能求出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行解。

求解过程中，扩展欧几里得比欧几里得多了一个赋值过程，具体证明如下：

设ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)
因为由欧几里得算法可知，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
所以ax1+by1=bx2+(a mod b)y2
因为

a m o d b = a - (└ a b ┘ * b)

$a mod b=a-(└\dfrac{a}{b}┘*b)$
（注意：这里的

(└ a b ┘ * b)

$(└\dfrac{a}{b}┘*b)$ 不单单是约分，而是a/b向下取整后再乘b）

a x 1 + b y 1 = b x 2 + (a - (└ a b ┘ * b) y 2

$ax1+by1=bx2+(a-(└\dfrac{a}{b}┘*b)y2$

将右边移项，展开得：
ax1+by1=ay2+bx2-(a div b)*b*y2

a x 1 + b y 1 = a y 2 + b x 2 - └ a b ┘ * b * y 2

$ax1+by1=ay2+bx2-└\dfrac{a}{b}┘*b*y2$

= a y 2 + b (x 2 - └ a b ┘) y 2

$=ay2+b(x2-└\dfrac{a}{b}┘)y2$

所以可得：x1=y2

y 1 = x 2 - └ a b ┘ * y 2

$y1=x2-└\dfrac{a}{b}┘*y2$
将得到的的x1,y1递归操作求解x2,y2，如此循环往复，将会像欧几里得一样得到b=0的情况，此时递归结束，返回x=1,y=0，回溯得解。

代码描述：

此函数返回的是a,b的最大公约数，同时也求解出满足ax+by=gcd(a,b)的一组可行的(x,y)

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=Exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}