欧几里得算法与不定方程

本文主要介绍数论中的欧几里得算法，线性方程及它们之间的关系。本文主要参考了《数论概论》，因此将本文当成这本书的读书笔记也未尝不可。

(本文正被完善中……)

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欧几里得算法

问题：求60和22的最大公约数（两个数的最大公约数a, b是能够整除它们的最大数，记为gcd(a, b)）。

因为这两个数比较小，所以我们完全可以通过肉眼观察出其最大公约数：$2$。那么对于（$225, 120$）这一组数呢？我们可以分解两个数的因子：

$225 = 3 ^ 2 \times 5 ^2$

$120 = 2 ^ 3 \times 3 \times 5$

然后求出所有数的约数（$a$的约数$divisor(a)$表示能够整除$a$的数）：

$divisor(225) = \{1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225\}$

$divisor(120) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\}$

它们的公约数

$commonDivisor(225, 120) = \{1, 3, 5, 15\}$

其中最大的$15$就是它们的最大公约数（根据最大公约数的定义）。大功告成，总算让人松了一口气。按照这个方法，不论来什么样的一组数，我们都可以轻松的求它们的最大公约数了。等等，真的是这样吗？那么来看看这一组数：

$(1 160 718 174, 316 258 250)$

我的天，这题谁爱算谁算吧（溜~）。

下面介绍欧几里得算法，只要掌握了这种算法，就可以用极其快的速度算出两个数的最大公约数，就算是上面那两个天文数字也$OK$。不仅如此，欧几里得算法还很容易通过编程实现，那么就可以利用计算机的计算能力迅速的解决大多数（指的是有机会碰上的）最大公约数的问题，其代码量只有三行。

在介绍算法的具体过程之前，我打算先用文字描述一下这个算法，即使无法很好的说清楚这个算法，也让先有一个大体的概念。

欧几里得算法：可以用以下方法求a, b的最大公约数gcd(a, b)：

1. 计算$r = a \mod b$，然后令$a = b, b = r$。
2. 重复步骤$1$，直到$r = 0$，此时$b$就是答案。

下面我们将利用欧几里得算法计算$gcd(1 160 718 174, 316 258 250)$：

$1 160 718 174 = 3 \ \ \times 316 258 250 + 211 943 424$

$316 258 250 \ \ = 1 \ \ \times 211 943 424 + 104 314 826$

$211 943 424 \ \ = 2 \ \ \times 104 314 826 + 3 313 772$

$104 314 826 \ \ = 31 \times 3 313 772 \ \ \ \ + 1 587 894$

$3 313 772 \ \ \ \ \ \ = 2 \ \ \times 1 587 894 \ \ \ \ + 137 984$

$1 587 894 \ \ \ \ \ \ = 11 \times 137 984 \ \ \ \ \ \ + 70 070$

$137 984 \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 \ \ \times 70 070 \ \ \ \ \ \ \ \ + 67 914$

$70 070 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 \ \ \times 67 914 \ \ \ \ \ \ \ \ + 2156$

$67914 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 31 \times 2156 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 1078$(最大公约数)

$2156 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 2 \ \ \times 1078 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 0$

我们只用了$10$次计算就将这两个天文数字的最大公约数计算出来了。下面用一种不严谨的方法证明这种计算方法是对的（为了证明的方便，这里仅以上面的数据为例，不做一般性的证明）：

先证明$1078$是$1 160 718 174$和$316 258 250$的公约数：
$1078$能够整除$2156$（最后一个式子）

因为$1078$能够整除$1078$和$2156$，所以$1078$能够整除$67914$（倒数第二个式子）

……（以此类推）

因为$1078$能够整除$104 314 826$和$211 943 424$，所以$1078$可以整除$316 258 250$（第二个式子）

因为$1078$能够整除$316 258 250$和$211 943 424$，所以$1078$可以整除$1 160 718 174$（第一个式子）

再证明$1078$是两数的公约数中最大的那个：

假设$d$为两数的任意公约数

因为$d$能够整除$1 160 718 174$和$316 258 250$，所以$d$能够整除$211 943 424$（第一个式子）

因为$d$能够整除$316 258 250$和$211 943 424$，所以$d$能够整除$104 314 826$（第二个式子）

……（以此类推）

因为$d$能够整除$67914$和$2156$，所以$d$能够整除$1078$（倒数第二个式子）

那么$1 160 718 174$和$316 258 250$的任意公约数都能整除$1078$，那么$1078$是两数的最大公约数。

简洁而神奇，这就是欧几里得算法。

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扩展欧几里得算法

问题：求方程60x + 22y = gcd(60, 22)的一组解

这是个关于$x, y$的不定方程。我们观察这个方程。方程中有两个未知数，并且有一个奇怪的东西：$gcd(60, 22)$。为什么这个方程长得如此奇怪呢？这要从一条叫贝祖定理的定理说起：

贝祖定理：设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax + by = gcd(a，b)。

所以是因为这个方程的解一定存在，所以我们本着一颗“无聊的心”来考察一下这方程的如何求解。哈哈~

（事实上ax + by的结果一定是gcd(a, b)的整数倍，所以如果要讨论ax + by这种整数线性方程的话，就必然要讨论这个方程）

首先不管方程的解法如何，求出$gcd(60, 22)$都是必须的。那我们在复习欧几里得算法的同时求一下$gcd(60, 22)$：

设$a = 60, b = 22$（只是为了简洁），欧几里得算法的过程如下：

$a = 2 \times b + 16$

$b = 1 \times 16 + 6$

$16 = 2 \times 6 + 4$

$6 = 1 \times 4 + 2$(最大公约数)

$4 = 2 \times 2 + 0$

于是$gcd(a, b)$等于$2$。现在终于可以来解方程了。首先观察方程。显然，我们可以枚举$x, y$来求解，通过观察可以发现$-4a + 11b = 2$。但是对于更一般的$a$和$b$，用枚举的方法来解决问题就不一定有效了。这里就必须引入扩展欧几里得算法。同样，先介绍一下扩展欧几里得算法的大致步骤：

1. 将欧几里得算法过程中的第一个式子中的$a, \ b, \ r$都用$a, \ b$表示
2. 将第二个式子中的$a_2, \ b_2, \ r_2$也用$a, \ b$表示
3. 依次将第三，第四，…，第$m$式子中的$a_m, \ b_m, \ r_m$用$a, \ b$表示
4. 将倒数第二条式子中的所有量用$a, \ b$表示，此时可以得到方程的解

具体的步骤如下（下面的每条式子同上述欧几里得算法的每条式子相对应）：

$16 = a - 2b$

$6 = -a + 3b$

$4 = 3a - 8b$

$2 = -4a + 11b$

上面的最后一条式子就向我们展示了解。这就是扩展欧几里得算法。因为其正确性是显然的，所以这里就不证明了。

问题：求方程ax + by = gcd(a, b)的通解

如果求$60x + 22y = 2$的解还不够满足的话，我们可以将这个问题的更一般的解找出来。将方程一般化后可以得到方程：$ax + by = g$，其中$g = gcd(a, b)$。我们尝试求出这条方程的所有解，也就是其通解。

首先，可以通过上述扩展欧几里得算法求出这条方程的一组解，我们可以将其记为$(x_1, y_1)$。

其次，我们可以先尝试求$g = 1$的情况，也就是$a, b$互质（没有公共因子）的情况。显然，如果将$ax + by = 1$的所有解$(x, y)$在平面直角坐标系中以点$(x, y)$的形式画出来，那么这些解一定落在直线$ax + by = 1$上。以防有人不明白为什么这个方程的解集落在直线上，我们将方程变形为

$y = -\frac{a}{b} x + \frac{1}{b}$

这个“斜截式”的方程就比较显然的呈现出一条直线了。那么方程的另一组解就可以表示为直线上的另一个坐标为整数的点

$(x_1 + t, y_1 - \frac{a}{b}t)$

其中$t$为某个神秘的我们暂时不需要知道是多少的整数。因为$g = gcd(a, b) = 1$，所以 为了保证“$\frac{a}{b} t$是整数“，必须满足“t为b的倍数” 。否则若$b$既不能整除$a$又不能整除$t$，则$\frac{a}{b}t$就 不是整数。

好的，现在$t$是$b$的倍数了（之所以先讨论$g = 1$, 目的就在于得到这个结论从而简化问题），那么t就可以表示为$k \times b$，也就是$t = kb$，将$t$代入$(x_1 + t, y_1 - \frac{a}{b}t)$可得方程的通解的形式

$(x_1 + kb, y_1 - ka)$

其中$k$为任意整数，每个整数对应了方程的一组解。

然后，我们再讨论$g > 1$的情况

。先将方程$ax + by = g$变形：

$\frac{a}{g}x + \frac{b}{g}y = 1$

问题就转化成了上面一种情况，也就是$a'x + b'y = 1，a' = \frac{a}{g}, b' = \frac{b}{g}, gcd(a', b') = 1$的情况，那么套用前面的公式，通解就是

$(x_1 + k\frac{b}{g}, y_1 - k\frac{a}{g})$

问题：求方程ax + by = c的通解

问题：求方程ax + by = g的最小非负解