内模原理以及利用内模原理的简易控制器设计

内模原理详解

1. 基本定义
   内模原理（Internal Model Principle, IMP）由Francis和Wonham于1975年提出，其核心思想可概括为：

“控制器必须包含外部信号的动力学模型，才能实现对信号的完全跟踪或扰动抑制。”

---

2. 数学表述
   考虑闭环系统：
   $$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Ed\\ y=Cx\end{array}$$
   其中 $d$ 为扰动，$u$ 为控制输入。

若扰动 $d$ 由某动态系统生成（例如 $d(t)=D_{w}w$, $\dot{w}=S_{w}w$），则控制器需包含 $S_w$ 的模型才能完全抑制 $d$ 的影响。

• 关键定理
  设扰动/参考信号由以下系统生成：
  $$\dot{w}=Sw,d=Dw$$
  则闭环系统能完全抑制扰动 $d$ 的充分必要条件是：

• 控制器传递函数 $C(s)$ 包含 $S$ 的模型（即 $C(s)$ 的极点包含 $S$ 的特征值）

• 内模原理的核心要求 ：

  内模原理指出：若控制器中包含外部信号（参考信号或扰动）的生成模型，则闭环系统可以实现对这些信号的渐进跟踪或完全抑制。例如：

  • 跟踪阶跃信号 → 控制器需包含积分器（1/s）
  • 抑制正弦扰动 → 控制器需包含对应频率的谐振器（如 $1/(s^2+{\omega }^2)$）

  ---

4. 典型应用场景

信号类型	信号生成模型	控制器需植入的内模
阶跃信号	$\frac{1}{s}$	积分器（PI控制中的I项）
斜坡信号	$\frac{1}{s^2}$	双重积分器
正弦信号（频率ω）	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	谐振控制器（如PR控制）

5. PI控制器的结构分析
   PI控制器的传递函数为：
   $$C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}$$
   其中积分项 $\frac{1}{s}$ 对应阶跃信号的生成器模型（阶跃信号的拉普拉斯变换为 $\frac{1}{s}$）。这意味着：
   当系统存在常值扰动或需要跟踪阶跃参考信号时，积分器通过内部植入的“阶跃信号模型”，实现了稳态误差的消除。
   鲁棒性保障 ：
   即使被控对象参数存在微小变化，只要积分器模型仍能匹配扰动/参考信号的基本特性（如常值特性），系统仍能保持无静差跟踪。

6. 设计步骤
   1、识别外部信号特性：确定参考信号或扰动的数学模型（如阶跃、斜坡、正弦）
   2、植入对应内模：在控制器中嵌入该信号的生成器模型
   3、稳定性设计：通过极点配置等方法保证闭环稳定

---

7. 实例分析
   案例：直流电机速度控制

• 目标：跟踪阶跃速度指令，抑制负载转矩阶跃扰动
• 控制器设计：
  • 使用PI控制器：$C(s)=K_p+\frac{K_i}{s}$
  • 积分项 $\frac{1}{s}$ 对应阶跃信号的内模
• 效果：
  • 稳态速度误差为零
  • 负载转矩扰动被完全抑制

9. 扩展讨论

• 与现代控制理论的联系：内模原理在鲁棒控制（H∞控制）、重复控制（如针对周期性扰动的控制）中均有重要应用。
• 局限性：需精确已知外部信号的模型特性，否则可能导致性能下降甚至失稳。

---

怎样基于内模原理设计控制器

---

一、内模原理设计控制器流程

---

二、详细设计步骤

1. 信号特性分析

• 目标信号类型：
  • 参考信号（如阶跃、斜坡、正弦）
  • 扰动信号（如常值负载扰动、周期性噪声）
• 数学建模示例：

  信号类型	动态模型	拉普拉斯变换
  阶跃信号	$\dot{w}=0$	$\frac{1}{s}$
  正弦信号（ω）	$\ddot{w}+{\omega }^{2}w=0$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$
  斜坡信号	$\ddot{w}=0$	$\frac{1}{s^2}$

2. 内模构建

• 核心规则：控制器需包含信号生成器的动力学模型
• 植入方式：
  • 串联内模：在控制器前向通道中直接嵌入模型
    $$C(s)=\underset{\text{阶跃内模}}{\underbrace{\frac{1}{s}}}\cdot K_p$$
  • 反馈内模：通过状态观测器重构信号模型（适用于扰动不可测场景）

3. 控制器结构设计

• 通用形式：
  $$C(s)=\underset{\text{内模部分}}{\underbrace{\frac{N_{im}(s)}{D_{im}(s)}}}\cdot \underset{\text{补偿器}}{\underbrace{\frac{N_c(s)}{D_c(s)}}}$$
• 经典控制器示例：

  控制需求	控制器类型	内模结构
  跟踪阶跃信号	PI控制器	$\frac{1}{s}$
  抑制正弦扰动（50Hz）	谐振控制器	$\frac{1}{s^2+100{\pi }^2}$
  跟踪斜坡信号	PID+双重积分	$\frac{1}{s^2}$

4. 稳定性设计

• 步骤：
  1. 构建增广系统：将内模与被控对象结合
     $$G_{aug}(s)=G(s)\cdot \frac{N_{im}(s)}{D_{im}(s)}$$
  2. 设计补偿器 $N_c(s)/D_c(s)$ 以满足：
     • 极点配置：指定闭环系统极点位置
     • 频域指标：相位裕度 > 45°, 幅值裕度 > 6dB
  3. 验证鲁棒性：通过灵敏度函数分析（$S(s)$、$T(s)$）

5. 仿真验证

• 关键测试场景：

  # 伪代码示例（Python/Matlab）
  t = 0:0.01:10
  r = 1.0 * (t >= 2)       # 阶跃参考信号
  d = 0.5 * sin(10*t)      # 正弦扰动
  y = simulate(sys_cl, r, d)
  plot(t, y, 'b', t, r, 'r--')
  

---

三、设计实例：伺服系统正弦扰动抑制

1. 问题定义

• 被控对象：直流电机速度系统 $G(s)=\frac{1}{0.1s+1}$
• 扰动：$d(t)=0.2\sin (10t)$
• 目标：抑制扰动引起的速度波动

2. 控制器设计

3. 内模构建：正弦扰动生成模型为 $\frac{10}{s^2+100}$

4. 控制器结构：
   $$C(s)=\underset{\text{内模}}{\underbrace{\frac{10}{s^2+100}}}\cdot \underset{\text{补偿器}}{\underbrace{\frac{K(s+5)}{s+20}}}$$

5. 参数整定：通过根轨迹法选择 $K=50$ 使主导极点阻尼比 ζ=0.7

6. 性能验证

指标	无内模控制	内模控制
扰动抑制比	-12dB	-35dB
稳态误差	18%	<1%

---

四、需要注意的小点

1. 模型不确定性：

   • 实际信号频率可能与标称值存在偏差（如ω=10 rad/s → 实际ω=10.5 rad/s）
   • 解决方案：采用自适应内模或鲁棒控制设计

2. 实现限制：

   • 高阶内模可能导致控制器复杂化
   • 离散化时需注意采样频率选择（满足香农定理）

3. 稳定性与性能平衡：

   • 过多内模会降低相位裕度
   • 需通过Bode图分析进行折衷设计

---

五、拓展

• 重复控制：针对周期性信号的内模阵列设计
  $$C(z)=\frac{1}{1-z^{-N}}\cdot K_r(N=\text{周期采样点数})$$
• 多频段控制：并联多个谐振器抑制复合扰动
  $$C(s)=\sum _{k=1}^n\frac{K_{k}s}{s^2+{\omega }_k^2}$$

---

通过以上步骤，可系统化地设计基于内模原理的高性能控制器。实际应用中需结合频域分析工具（如Nyquist图、Bode图）进行迭代优化。