内模原理以及利用内模原理的简易控制器设计

内模原理详解

1. 基本定义
   内模原理（Internal Model Principle, IMP）由Francis和Wonham于1975年提出，其核心思想可概括为：

“控制器必须包含外部信号的动力学模型，才能实现对信号的完全跟踪或扰动抑制。”

---

2. 数学表述
   考虑闭环系统：
   $$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu+Ed\\ y=Cx\end{array}$$
   其中 $d$ 为扰动，$u$ 为控制输入。

若扰动 $d$ 由某动态系统生成（例如 $d(t)=D_{w}w$, $\dot{w}=S_{w}w$），则控制器需包含 $S_w$ 的模型才能完全抑制 $d$ 的影响。

• 关键定理
  设扰动/参考信号由以下系统生成：
  $$\dot{w}=Sw,d=Dw$$
  则闭环系统能完全抑制扰动 $d$ 的充分必要条件是：

• 控制器传递函数 $C(s)$ 包含 $S$ 的模型（即 $C(s)$ 的极点包含 $S$ 的特征值）

• 内模原理的核心要求 ：

  内模原理指出：若控制器中包含外部信号（参考信号或扰动）的生成模型，则闭环系统可以实现对这些信号的渐进跟踪或完全抑制。例如：

  • 跟踪阶跃信号 → 控制器需包含积分器（1/s）
  • 抑制正弦扰动 → 控制器需包含对应频率的谐振器（如 $1/(s^2+{\omega }^2)$）

  ---

4. 典型应用场景

信号类型	信号生成模型	控制器需植入的内模
阶跃信号	$\frac{1}{s}$	积分器（PI控制中的I项）
斜坡信号	$\frac{1}{s^2}$	双重积分器
正弦信号（频率ω）	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	谐振控制器（如PR控制）

5. PI控制器的结构分析
   PI控制器的传递函数为：
   $$C(s)=K_p+\genfrac{}{}{0ex}{}{}{s}$$