1.2 引入不定度量空间的动机——有限时域H2/H∞滤波

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原文链接：https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/1.9781611970760.bm

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于 2022-10-07 21:36:28 首次发布

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在本节中，通过回顾H2/H∞状态空间理论的一些结果来引入Krein空间（不定度量空间）

1.2.1 状态空间估计

考虑一个时变系统

上式中x，y分别为状态与输出，u和v分别为过程噪声与输出噪声。F，G，H为适当维度的矩阵。

估计状态的任意线性组合：

是已知的，观测值为，使用

表示基于给定观测值{yn}(n=0~i)的状态估计，定义状态估计误差：

估计的目标是构建一个状态估计使滤波误差序列足够“小”。一个常用的度量是：

H2 方法：随机扰动过程

在H2的方法中，我们假设未知扰动是零均值，方差已知的噪声。假设方差为

当初始状态和扰动是零均值的随机变量，（1.1）中的其他量（状态，输出）也是一样的。

特别是滤波误差（1.3）也是一个随机变量。因此，H2估计的目标是寻找一个线性估计来最小化滤波误差的期望。精确的表述如下。

问题1.2.1（H2估计问题）

考虑状态空间如（1.1）与假设（1.4）。找到一个线性估计最小化滤波误差期望。

上述问题的解就是卡尔曼滤波器（Kalman filter）。

定理1.2.1（卡尔曼滤波）

问题1.2.1的解为

满足卡尔曼滤波迭代方程：

P满足如下黎卡提方程：

H∞方法：确定扰动过程

H无穷方法是假设扰动是未知但是非随机的，因此无法谈论期望值或者尝试像H2那样最小化残差。相反，可以考虑一个归一化的代价函数（假设我们考虑滤波误差能量函数作为最小化的代价函数）。

可以把上述代价函数理解为从未知扰动项（分母上的各项）到滤波误差项的能量增益。我们可以很清晰的看到如果（1.8）的比率很小的话，说明滤波的效果好，反之亦然。然鹅，（1.8）的结果依赖于未知的扰动项。因此，我们考虑最坏的情况。

这表示从未知扰动项（分母上的各项）到滤波误差项的能量增益的最糟糕的情况。H∞估计的目标是就是最小化这个最坏情况下的能量增益。关键在于得到的估计值对于扰动的变化是稳健的，因为没有对扰动进行统计假设，而且我们对最坏的情况有了防范。然而，这样得到的估计量可能过于保守。

结果表明只有少数情况下，（1.9）可以显式最小化。因此，我们通常放宽最小化条件，考虑次优问题。

问题1.2.2（次优 H∞估计问题）

考虑标准的状态空间模型（1.1），给定一个标量。确定是否有可能用作为最坏情况能量增益的界限：即是否能找到一个估计满足：

在说明次优H∞问题之前，稍微详细的研究下问题的结构是有用的。注意（1.10）暗示对于非零的，我们必须要有

此外，（1.11）暗示着对于所有的 ,我们一定要有：

如果都是0，那么显而易见一定也是0。因此，我们只考虑其为非0序列的情况

重述问题1.2.2

给定标量，则（1.10）满足当且仅当存在序列

使得对于所有复杂向量，所有序列，所有的非0序列，标量二次型被定义为

满足

注意，不定二次型也可以写成下面的形式

我们可以看到H无穷滤波的解决方法与保证不定二次型的正性联系在一起。这也表明在这个问题中引入某些不定度量空间也许是有益的。事实上，在我们引用上述H无穷滤波的解决方案后，这将变得更加明显。

定理1.2.2（有限时域H∞滤波）

一个水平为的H∞滤波器存在，当且仅当矩阵

有相同的惯性指数对于所有的，Pj满足黎卡提方程

在这种情况下，一个可能的 H∞估计为

满足迭代

H2与H∞滤波的比较

定理1.2.2的解看起来与定理1.2.1中卡尔曼滤波的解非常相似，只有黎卡提递归方程（1.17）与卡尔曼滤波（1.7）不同，因为：

H∞中不定“协方差”矩阵
（对估计状态的选择）进入黎卡提递归方程
H∞增加了额外的条件，滤波器想要存在，条件必须满足。在卡尔曼滤波中Li不存在而且Pi是半正定的，因此（1.16）是直接的。

的出现意味着对状态向量的H∞估计的第一部分不是对所有向量的 H∞估计的第一部分（因为前者，而后者）。这与H2的情况非常不同，在H2中，对状态的任何线性组合的估计都会是状态估计的线性组合。

事实是我们有不定的“协方差”而且进入了H∞估计问题的解中，因此，将二次型写成（1.15）的形式就很自然了。（1.15）中，与都出现了。然而令人惊讶的是，确定性H∞问题的解与随机H2问题的解具有相同的类卡尔曼滤波器结构。唯一的区别是H∞问题中，解的存在需要一个附加的惯性条件。

H∞问题的Krein空间解法

具体的内容将在第二章与第三章给出。这里简要概述这一方法

我们的方法是确保二次型（1.15）是严格正的。首先，我们需要确保（1.15）在上有最小值。其次，我们需要选择使（1.15）在最小值处是严格正的。

原则上，这两个步骤都可以用代数方法解决，例如，使用动态规划获得递归解。然而，代数方法过于复杂，这可能就是为什么目前 H∞问题通常以其他各种方法解决。在随机H2问题中，递归卡尔曼滤波解可以通过几何参数得到：在随机变量的希尔伯特空间中使用投影来最小化（1.5），通过引入创新过程（innovation process），递归解很容易得到。（参考3.3.1节或者任意关于卡尔曼滤波的教材）

H∞解中出现的卡尔曼滤波器递归的形式表明可以使用类似的方法解决H无穷问题。问题在于确定性H无穷问题中没有Hilbert空间（由于的存在）。然而，在2.4.2节中我们将会定义一个部分等效的向量空间，该空间不是Hilbert空间而是一个特殊的不定空间，称作Krein空间，它允许我们解决原来的确定性问题。Krein空间与Hilbert空间有些基础的不同；特别地，它们可以包含长度为零的非零向量（叫做（neutral）中性向量），以及包含与子空间中所有向量正交的非零向量的子空间（这样的子空间叫做（degenerate），这样的向量叫做（isotropic）各向同性）。这些事实的结果是，在Krein空间中，投影不一定总是存在，即使他们存在，它们仅仅使一个二次型平稳化（而不一定使其最小化）。当投影存在的时候，依然可以使用一般的卡尔曼滤波递归计算，但是需要额外计算附加的惯性条件。