计算机图形学——正交投影矩阵的分解和合成

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1. 分解方式：缩放矩阵和平移矩阵

描述

将正交投影矩阵分为两步：

1. 缩放矩阵 (ortho_scale_Matrix)：将坐标范围缩放为标准化设备坐标的大小范围 ([-1, 1])。
2. 平移矩阵 (ortho_translate_Matrix)：将坐标范围居中到原点。

最后将两者相乘，得到完整的正交投影矩阵。

优点

• 逻辑清晰：分开处理缩放和平移，有助于理解和调试。
• 复用性高：缩放和平移可以独立用于其他变换，不必耦合在一起。
• 教育性强：便于教学和解释正交投影的原理。

示例代码

Eigen::Matrix4f ortho_scale_Matrix;
ortho_scale_Matrix << 2/(r-l), 0,        0,        0,
                      0,       2/(t-b),  0,        0,
                      0,       0,        2/(f-n),  0,
                      0,       0,        0,        1;

Eigen::Matrix4f ortho_translate_Matrix;
ortho_translate_Matrix << 1, 0, 0, -(r+l)/2,
                          0, 1, 0, -(t+b)/2,
                          0, 0, 1, -(f+n)/2,
                          0, 0, 0, 1;

Eigen::Matrix4f ortho_Matrix = ortho_scale_Matrix * ortho_translate_Matrix;

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2. 合成方式：直接构造完整矩阵

描述

直接根据正交投影的数学公式构造完整的正交投影矩阵，而不是将缩放和平移分开。

优点

• 效率高：一次性计算完整矩阵，减少了矩阵相乘的计算成本。
• 代码简洁：省略了中间步骤，更加紧凑。

缺点

• 可读性低：难以直接看到缩放和平移的独立作用。
• 不易调试：如果矩阵结果出错，难以定位具体的问题来源。

示例代码

Eigen::Matrix4f ortho_Matrix;
ortho_Matrix << 2/(r-l), 0,        0,        -(r+l)/(r-l),
                 0,       2/(t-b),  0,        -(t+b)/(t-b),
                 0,       0,        2/(f-n),  -(f+n)/(f-n),
                 0,       0,        0,        1;

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3. 哪种方式更常用？

教育场景（如课程、教程中）

• 分解方式 更常用。
  • 教学中需要详细讲解投影矩阵的构造原理。
  • 将缩放和平移分开，可以帮助学生理解矩阵的作用。
  • 有利于调试和实现其他变换。

实际工程中

• 合成方式 更常用。
  • 在性能敏感的应用（如实时渲染）中，直接使用预先计算的完整矩阵更加高效。
  • 代码量少且逻辑清晰，适合工业实现。
  • 特别是 GPU 编程中，完整矩阵通常在 CPU 或着色器代码中直接给出。

灵活性和代码复用

• 如果一个框架或引擎需要支持复杂的变换组合（如正交投影、平移、旋转等），可能会分开实现缩放和平移的矩阵，以便灵活组合。

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4. 实例：OpenGL 和 DirectX 的实现

• OpenGL：

  • OpenGL 提供了类似于 glOrtho 和 glFrustum 的函数，直接生成完整的正交或透视投影矩阵，属于合成方式。
  • 示例：

    glOrtho(left, right, bottom, top, nearVal, farVal);
    

• DirectX：

  • DirectX 提供类似于 XMMatrixOrthographicLH 和 XMMatrixPerspectiveFovLH 的函数，同样生成完整的投影矩阵，效率优先。

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5. 建议

1. 学习和教学：使用分解方式，便于理解和调试。
2. 实际开发：使用合成方式，减少运算开销。
3. 灵活场景：分解方式的矩阵可以组合使用，更加灵活，但需要注意性能优化。

在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的方式，权衡代码的清晰度和性能。