计算机图形学——射线与三角形相交检测_Möller-Trumbore算法及推导过程（涉及标量三重积、克莱姆法则）

1. 标量三重积

1.1 标量三重积的定义

标量三重积（scalar triple product）是一个结合点积和叉积的运算，定义为：

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$$

这里：

• $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$：是向量 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 的叉积，结果是一个垂直于 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 所在平面的向量。
• $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$：将 $\mathbf{a}$ 投影到 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ 上后，计算标量乘积，最终结果是一个标量。

 

1.2 标量三重积的几何意义

1.2.1 平行六面体的体积

标量三重积的绝对值表示由三个向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 作为边所构成的平行六面体的体积：

$$V=|\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})|$$

几何解释：

• $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ 的模长代表 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 所围成的平行四边形的面积。
• $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ 是平行四边形面积乘以向量 $\mathbf{a}$ 在其法向上的投影，即体积。

1.2.2 向量共面的判别

若 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=0$，说明向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 共面。

1.2.3 方向判定

标量三重积的符号可用于判断 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 的排列是否符合右手法则：

• 若 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})>0$，则符合右手法则。
• 若 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})<0$，则不符合。

 

1.3 标量三重积的计算公式

标量三重积可以通过行列式计算：

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

推导过程：

• 叉积 $\mathbf{b}\times \mathbf{c}$ 的结果为：

$$\mathbf{b}\times \mathbf{c}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]=(b_2{c}_3-b_3{c}_2)\mathbf{i}-(b_1{c}_3-b_3{c}_1)\mathbf{j}+(b_1{c}_2-b_2{c}_1)\mathbf{k}$$

• 点积 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$：

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=a_1(b_2{c}_3-b_3{c}_2)+a_2(b_3{c}_1-b_1{c}_3)+a_3(b_1{c}_2-b_2{c}_1)$$

这正是对应的 $3\times 3$ 行列式展开式。
 

1.4 标量三重积的性质

1.4.1 交换性

标量三重积具有循环交换的性质：

$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$

但改变叉积的顺序会改变符号：

a ⋅ ( b × c