bzoj 1856

探讨了由0和1组成的特定数列数量问题,利用坐标系将问题转化为不经过第四象限的路径计数,引入卡特兰数列概念,并通过预处理阶乘逆元计算组合数,提供了一种高效解决方案。

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做这题之前先看道高考真题(好像是真题,我记不清了)

例:已知一个由n个0和n个1排列而成的数列,要求对于任意k∈N*且k∈[1,2n],在前k个数中1的个数不少于0的个数,求当n=4时这样的数列的数量。

解:14个(策略:暴力枚举,时间复杂度O(2^n))

所以本题其实就是对高考真题的一个一般化推广,首先扩大了n的范围,而且0的个数和1的个数可能不等了,所以这道题并不简单

我们通过打表可以发现:当n=m时,答案满足卡特兰数列,即C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}

当n!=m呢?

再稍微打个表,答案就是C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}

(我不会告诉你我没打出来这个表的)

接下来就好说了,预处理阶乘逆元然后计算组合数即可

但是为什么是这个公式呢?

我们稍微转化一下:将问题放到坐标系上,假设1代表向右上走,0代表向右下走,那么问题转化为了从(0,0)点到(n+m,n-m)点且不经过第四象限的方案数

那么如果完全统计方案数,答案即为C_{n+m}^{n}

但是一定有一些是不合法的啊

那么如果是不合法的方案,这些不合法的路径一定会经过直线y=-1,那么我们将经过这条直线之前的所有点关于这条直线对称,会发现起点变成了(0,-2)!

于是问题转化为了从(0,-2)走到(n+m,n-m)的方案数

设向上走x步,向下走y步

则x+y=n+m,x-y=n-m+2

∴x=n+1,y=m-1

∴方案数即为C^{_{n+m}^{n+1}}

两者做差即可

解释如图。

当然,这题还有一些递推式,比如f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1],若i<j f[i][j]=0

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
#define mode 20100403
using namespace std;
ll inv[2000005];
ll mul[2000005];
ll n,m;
void init()
{
	inv[1]=inv[0]=1;
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
	}
	mul[0]=mul[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		inv[i]*=inv[i-1];
		inv[i]%=mode;
		mul[i]=mul[i-1]*i%mode;
	}
}
ll C(ll x,ll y)
{
	if(y>x)
	{
		return 0;
	}
	return mul[x]*inv[y]%mode*inv[x-y]%mode;
}
int main()
{
//	freopen("task.in","r",stdin);
//	freopen("task.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	init();
	printf("%lld\n",((C(n+m,n)-C(n+m,n+1))%mode+mode)%mode);
	return 0;
}

 

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