BZOJ1856【SCOI2010】字符串题解（组合数学+Catalan数）

关注

原创最新推荐文章于 2026-05-19 09:13:28 发布 3.4k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

大模型分布式训练技术（DP、DDP和FSDP）本文主要讲解了大模型分布式训练并行技术的数据并行，并以Pytorch为主线讲解了DP、DDP、FSDP三种不同的数据并行方案。单进程多线程模式，由于锁的机制导致线程间同步存在瓶颈。使用普通的All-Reduce机制，所有的卡需要将梯度同步给0号节点，并由0号节点平均梯度后反向传播，再分发给所有其他节点，意味着0号节点负载很重。由于第二点的原因，导致0号GPU通讯成本是随着GPU数量的上升而线性上升的。不支持多机多卡。目前，由于性能问题，DP基本不用了。阅读详情

题目：BZOJ1856.
题目大意：给定 $n$ 个 $1$ 和 $m$ 个 $- 1$ ，求组成的序列每一个前缀和都不小于 $0$ 的方案数.
$1\leq n,m\leq 10^6$ .

首先这个问题很像经典的Catalan数问题，但这里 $1$ 和 $- 1$ 的个数是不等的.

上面的Catalan数链接的问题4拓展已经把这个问题讲的很清楚了这里不讲了，直接上结论答案为：
$\left\{\begin{matrix} 0&n<m\\ C_{n+m}^{m}-C_{n+m}^{m-1}&n\geq m \end{matrix}\right.$

有了结论后就是一道简单题了.

时间复杂度 $O (n)$ .

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
 
#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000000,mod=20100403;

int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int sub(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
int mul(int a,int b){return (LL)a*b%mod;}
int sqr(int a){return a=(LL)a*a%mod;}
void sadd(int &a,int b){a=add(a,b);}
void ssub(int &a,int b){a=sub(a,b);}
void smul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
void ssqr(int &a){a=sqr(a);}

int n,m,inv[N*2+9];

void Pre_inv(int n){
  inv[1]=1;
  for (int i=2;i<=n+m;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}

int Calc_C(int n,int m){
  int res=1;
  for (int i=1;i<=n;++i) smul(res,i);
  for (int i=1;i<=m;++i) smul(res,inv[i]);
  for (int i=1;i<=n-m;++i) smul(res,inv[i]);
  return res;
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
}

Abigail work(){
  Pre_inv(n);
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",n<m?0:sub(Calc_C(n+m,m),Calc_C(n+m,m-1)));
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}