[BZOJ1856][Scoi2010]字符串（卡特兰数+组合数学）

最新推荐文章于 2022-08-11 11:50:46 发布

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该博客介绍了Scoi2010中关于字符串问题的解决方案，涉及卡特兰数和组合数学。解答提到，答案是Cnn+m-Cn+1n+m，模数为质数，可以通过处理阶乘和快速幂计算逆元。不合法的方案可以通过选取特定位置的01互换来形成，这一过程可以从n+1个1和m-1个0的组合中得出。

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题目描述

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题解

答案 $C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1}$ ，模数是质数所以直接处理阶乘然后快速幂计算逆元就行
至于这个公式的推导可以参考卡特兰数的非常规分析
首先 $C_{n+m}^n$ 是总的方案数，从中减去不合法的方案
对于一个不合法的方案，假设从第2k+1位开始不合法，那么之前一定有k+1个0，k个1，如果将0,1互换就变成了一共有n+1个1，m-1个0
反过来，对于任意一个n+1个1，m-1个0组成的方案，任选一位将其前面的01互换，就变成了一个不合法的方案

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 2000005
#define Mod 20100403

int n,m;
LL mul[N],ans;

void calc()
{
    mul[0]=1LL;
    for (int i=1;i<=n+m;++i) mul[i]=mul[i-1]*(LL)i%Mod;
}
LL fast_pow(LL a,int p)
{
    LL ans=1;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
LL C(int n,int m)
{
    return mul[n]*fast_pow(mul[m]*mul[n-m]%Mod,Mod-2)%Mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if (n<m) {puts("0");return 0;}
    calc();
    ans=((C(n+m,n)-C(n+m,n+1))%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%lld\n",ans);
}