bzoj1856 字符串 组合数学

       果然是神题。。。数形结合。。。

       看到这道题，第一反应是把0看成-1，这样就变成前缀和>0了。其实也想到了把这个字符串转化成1条折线，即从(0,0)出发，经过n+m步，每一步不是向右上走一格就是向右下走一格，要求不能到x轴的下方，求到达点(n+m,n-m)，但是接下来的就比较巧妙了，确实想不到。（也可以见=>http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3443689.html）

       首先求出总方案C(n+m,n)，如果一条线不合法，那么它一定是走到x轴下方了。那么可以想到，它一定经过直线y=-1。如果将这条直线第一次与y=-1相交的点的前半部分以直线y=-1为对称轴翻折，则这条直线的起点变为(0,-2)，而这条直线就相当于从点(0,-2)到(n+m,n-m)的一条直线了。显然，从(0,-2)->(n+m,n-m)的直线与不合法的直线是一一对应的。而从(0,-2)->(n+m,n-m)的直线必然有n+1次向右上走，m-1次向右下走。因此，在本题中不合法字符串的总数就相当于：有n+1个1，m-1个0的字符串总数（不管合法不合法），这个值等于C(n+1+m-1,n+1)=C(n+m,n+1)。

       因此，本题的答案为C(n+m,n)-C(n+m,n+1)。注意到取模的数p=20100403为质数，因此由费马小定理，x^(p-1)≡1(mod p)得x^(-1)≡x^(p-2)(mod p)。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define mod 20100403
using namespace std;

ll n,m;
ll ksm(ll x,ll y){
	ll base=x,sum=1;
	while (y){
		if (y&1) sum=sum*base%mod;
		base=base*base%mod; y>>=1;
	}
	return sum;
}
ll fac(ll x){
	ll i,sum=1;
	for (i=1; i<=x; i++) sum=sum*i%mod; return sum;
}
ll cbn(ll x,ll y){
	return fac(x)*ksm(fac(x-y)*fac(y)%mod,mod-2)%mod;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	printf("%lld\n",(cbn(n+m,n)-cbn(n+m,n+1)+mod)%mod);
	return 0;
}

by lych

2016.1.3