整数的拆分问题（不允许重复）

整数的任意拆分问题（不允许重复）

问题：输入两个整数n 和m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数(不许重复), 使其和等于m （m<=1+2+...n）,要求将其中所有的可能组合列出来.

分析：记整数p可以用1,2...q的所有不重复数之和表示的组合为C(p,q)，则C(p,q)可以表示为以下的组合：
{q} + C(p-q,q-1)  (如果q<=m)
或者
C(p,q-1)
即要么包含q，要么不包含q。

另外有C(0,K)={},  C(K,0)无解(K>0)

因此可以使用动态规划的方法解决。

（要允许重复，可以参考我的另一篇blog。）

import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * * @author ljs 2011-05-11 * * 输入两个整数n 和m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数(不许重复), 使其和等于m （m<=1+2+...n）,要求将其中所有的可能组合列出来. * */ public class SumPartition { private Object[][] C; private int m; private int n; public void sumPartitions(int m,int n){ this.m = m; this.n = n; C = new Object[m+1][n+1]; //C[1][1]=new int[][]{​{1}}; //do the loop column by column for(int col=1;col<=n;col++) { for(int row=1;row<=m;row++){ List<int[]> combines = new ArrayList<int[]>(); //calculate {n} U C(row-col,col-1) if(col<row){ if(col>1){//when col==1, there is no solution Object[] C0 =(Object[])C[row-col][col-1]; for(int i=0;i<C0.length;i++){ int[] C0item = (int[])C0[i]; //add n int[] cElementNew = new int[C0item.length+1]; System.arraycopy(C0item, 0, cElementNew, 0, C0item.length); cElementNew[C0item.length] = col; combines.add(cElementNew); } } }else if(col==row){ combines.add(new int[]{col}); } //calculate C(row,col-1) //note: C(0,K) = {}; C(K,0) has no solution when K>0 if(col>1){ Object[] C1 =(Object[])C[row][col-1]; for(int i=0;i<C1.length;i++){ int[] C11 = (int[])C1[i]; combines.add(C11); } } C[row][col] = combines.toArray(); } } } public void printSize(){ Object[] ci = (Object[])C[m][n]; System.out.println("m:"+ m + ",n=" + n + " size:" + ci.length); } public void prettyPrint(){ //for(int i=0;i<=m;i++){ Object[] ci = (Object[])C[m][n]; System.out.print("{"); for(int j=0;j<ci.length;j++){ int[] cij = (int[])ci[j]; System.out.print("{"); for(int k=0;k<cij.length-1;k++) System.out.print(cij[k] + ","); if(cij.length-1>=0) System.out.print(cij[cij.length-1]); System.out.print("}"); } System.out.print("}"); //System.out.print(" m:"+ m + ",n=" + n + " size:" + ci.length); System.out.println(); //} } public static void main(String[] args) { SumPartition sp = new SumPartition(); int m=6; int n=5; sp.sumPartitions(m,n); sp.printSize(); sp.prettyPrint(); m = 20; n=10; sp.sumPartitions(m,n); sp.printSize(); } }

 

测试输出：

 m:6,n=5 size:3
{{1,5}{2,4}{1,2,3}}

m:20,n=10 size:31

 

本实现中的row相当于上面讨论中的p， col相当于q。该算法的时间复杂度为O(mn)。