整数划分的五种情况（DP）

首先，根据百度百科的概念，整数划分，是指把一个正整数n写成为其中，  为正整数，并且  ；  为n的一个划分。如果  中的最大值不超过m，即  ，则称它属于n的一个m划分。并

这里我们记n的m划分的个数为 。例如，当n=4时，有5个划分，即  ，  ， ，  ，  。注意：  和  被认为是同一个划分。根据n和m的关系，考虑一下几种情况：（一）当  时，无论m的值为多少  ，只有一种划分，即  。（二）当  时，无论n的值为多少，只有一种划分，即n个1，  。（三）当  时，根据划分中是否包含n，可以分为以下两种情况：（1）划分中包含n的情况，只有一个，即  。（2）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有  划分。因此  。（四）当  时，由于分中不可能出现负数，因此就相当于  。（五）当  时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为以下两种情况：（1）划分中包含m的情况，即  ，其中  的和为n-m，因此这种情况下为  。（2）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的  划分，个数为  。因此  。综上所述：n的m划分的个数为：

以上都来自百科

1.将n划分成若干正整数之和的划分数(一个划分集合中元素可以相同)

在这就可以抽象为n的n划分，dp策略是：为了找到当前状态与上一状态的关系（DP核心），我们采取的策略是判断m是否包含于集合中，然后给出递推公式， 依照公式分情况写出代码

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
	if(i==j)
	dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
	else if(j<i){
	    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];//dp[i][j-1]表示划分中不包含j,dp[i-j][j]表示划分中包含j
	}
	else
	dp[i][j]=dp[i][i];
    }
}//dp[i][j]表示的是i的j划分的个数，最后输出dp[n][n]即表示n的划分成若干正整数之和的个数

2.将n划分为若干不同的正整数之和的划分数（一个划分集合中的数不可以相同）

也是根据一个划分中是否包含m来转换状态

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
	if(i==j)
	dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
	else if(j<i){
	    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j-1];//dp[i][j-1]表示不包含j，dp[i-j][j-1]表示包含j，但是因为不可以出现重复的数据，所以其他的数据一定会小于j
	}
	else
	dp[i][j]=dp[i][i];
    }
}//dp[i][j]表示最后输出dp[n][n]

3.将n划分为k个数的划分数（一个划分中正好有k个数）

这个的转化策略是，划分中是否包含1，包含的话就是dp[i-1][k-1](把1拿出来，然后将剩下的分为k-1份)，不包含的话就是dp[i-k][k](把1分给k份，每一份都有一个1之后将剩余的分成k份，这样就可以保证每一份都不为1)

for(int i=1;i<=m;i++){
    for(int j=1;j<=i;j++){
	if(j==1)
	dp[i][j]=1;
	else
	dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];
    }
}//dp[i][j]表示将i分为j份的划分数量，最后输出dp[n][k]

4.将n划分成最大数不超过k的划分数

跟1的情况是一样的，最后输出dp[n][k]即可

5.将n划分成若干奇数

这个还不是太懂，先记着模板吧

memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<=n;i++){
		dp[i][1]=1;
		if(i&1)//判断i是否是奇数，这是一个位运算 
		dp[0][i]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j&1){
				if(j<=i){
					dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
				}
				else{
					dp[i][j]=dp[i][i];
				}
			}
			else{
				dp[i][j]=dp[i][j-1];
			}
		}
	} //最后输出dp[n][n]

对应题目：https://mp.youkuaiyun.com/postedit/79966941