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证明q-binomial是关于q的整系数多项式q-binomial定义为：$$ \binom{n}{k}_{q} = \frac{(q)_{n}}{(q)_{k}(q)_{n-k}} , (n \ge k) \tag 1其中：(q)_{i}=(1-q^{1})(1-q^{2})\cdots (1-q^{i})$$如何证明q-binomial是一个关于q的整系数多项式？证明：（１）可以写成：$$\binom{n}{k}_{q} = \frac {(1-q^{n-k+1})(1-q^..

最近在研究rook多项式的过程中，发现四个非常漂亮的二项式公式，其中一个为：$$ \sum_{i=0}^{n} \binom{2n+1}{2i+1} \binom{i}{k} = \binom{2n - k }{k} 2^{2 n-2 k} $$可以通过以下递推关系式并用数学归纳法证明，过程比较复杂，故从略．$$f(n+1, k) = 4 f(n, k) + 2 f(n, k-1) - f(n-1, k-2)其中f(n, k) = \sum_{i=0}^{n} \binom{2n+1}{2i+..

An ordered factorization of a number is the factorization of the number with the factors in order, for example, 8 = 2* 4, then the pairs (2,4) and (4,2) are considered different. How many different 4-element pairs of ordered factorization are there in 100.

将一个正方形的四条边用4种不同颜色（R,G,B,Y）着色，要求两个不同的正方形在经过旋转后没有相同的着色方案，问有多少种不同的着色方案使得至少有两条边的颜色为R？解：将所有的着色方案看成集合X，order=4的循环群(cyclic group)为G，则X是一个G-Set。G={1, r, r^2, r^3, r^4} = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, 则cycle index多项式为：P(x1,x2, x3, x4) = 1/4 (x1^4 + x2^2 + 2 .

Problem: how many ways to group 7 people into three groups with 3 people in one group and two

When we mention integer partition numbers, two great mathematic masters naturally come to our minds: Euler and Ramanujan. Since integer partition number has no closed form, Euler's generating function makes it convenient to derive the partition number for

给定一个参考三角形ABC，在三条边上（或延长线）各任意取一点X，Y，Z，那么XYZ叫做内嵌三角形或叫Miquel三角形。与XYZ相似（指同向相似）的内嵌三角形有无数个，那么所有相似的内嵌三角形具有唯一的一个Miquel点。下面用文字证明以上结论：根据Miquel定理：参考三角形ABC三条边上的X，Y，Z三点形成的三个Miquel圆具有唯一的交点，这点好理解，因为实际上三个圆共点有且仅有一个...

最近闲来无事，专门研究了一下Parry圆的性质，发现如果以参考三角形ABC的外接圆作为反演圆，那么Parry圆的反演就是自身。原因是：Parry圆与外接圆有两个交点，一个是Kiepert拋物线的焦点，一个是Parry点，这两个点反演后不变，另外Parry圆经过三角形的两个isodynamic点S和S'，而S和S'反演后相互变为对方，即S反演为S'，S'反演为S。因为Parry圆不经过外接圆的圆心O...

严格说来，第一费马点或正费马点的名称应该叫做称作X13，因为当三角形最大角大于120度时X13点就不是传统意义上的费马点了。同样，第二费马点或负费马点的名称应该叫做称作X14。但处于方便考虑，这里还是称作正负费马点。计算费马点到顶点的距离比较繁琐，但推导结果公式却非常对称优美：$$\begin{array}{l}{p^{2}=\frac{\left[\sqrt{3}\left(b^{2}+c^...

正射投影（简称投影）是常见的一种线性变换，不过通常它会改变向量的长度，因此它不是一种正交变换。本文将采用若干种方法讨论如何将一个从原点出发的向量投影到一个过原点的平面上。在开始本文之前，需要说明的是：向量虽然没有位置，但在线性空间中需要将向量默认为是从原点出发，因为平移不是一种线性变换; 在计算投影向量时，如果要在任意平面上投影，可以事先将平面平移到原点，计算完毕后再平移回去。设三维空间中过原...

双曲线（hyperbola)是一种二次曲线（类似的二次曲线有圆，椭圆和抛物线），如果它的横向对称轴(traverse axis)为直角坐标系的坐标轴，那么它的标准形式有两种，第一种横向对称轴为直角坐标系的横轴（同时共扼对称轴（conjugate axis）为坐标系的纵轴），标准形式如下：$$\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b}=1$$如果横向对称轴为直角坐标系...