【HDU5909】Tree Cutting FWT

原创于 2020-01-08 10:59:00 发布 · 135 阅读

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本文探讨了一种利用动态规划(DP)解决子树异或问题的方法，并通过快速沃尔什-赫达曼变换(FWT)进行优化，以提高多项式相乘的效率。在遍历树结构的过程中，通过维护每个节点的子树中所有可能的异或值及其出现次数，最终求得整棵树的所有连通块异或值的方案数。

令 $f[x][j]$ 表示以 $x$ 为根的子树，选出连通块的异或值为 $j$ 的方案数.

然后有 $f[x][j]=f[x][j]+\sum_{i\oplus k=j} f[x][i] \times f[son][k]$.

其中，$\oplus$ 为异或符号.

求解这个东西显然可以用 $FWT$ 来加速.

有两种方式，第一个是当遍历 $x$ 的儿子的时候分别于每一个儿子都做一次 $FWT$，但是这个会比较慢.

一个更好的方式是我们知道若干个多项式相乘不必一一相乘，而是统一进行 $FWT$，然后最后做一次 $IFWT$ 就行.

但是这里有一个地方需要注意：$f[x][0]$ 必须要 +1，因为当 $x$ 的父亲与 $x$ 结合时有可能不选 $x$.

#include <cstdio> 
#include <cstring> 
#include <string>   
#include <vector>  
#include <cctype>   
#include <algorithm>  
#define N 1306  
#define RG register
#define ll long long 
#define mod 1000000007 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;    
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}  
int lim,inv,n;      
int f[N][N],ans[N];    
vector<int>G[N];   
int qpow(int x,int y) 
{
    int tmp=1; 
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) 
        if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;  
    return tmp; 
}
void FWT(int *a,int opt) 
{
    int i,j,k;  
    for(i=1;i<lim;i<<=1) 
    {
        for(j=0;j<lim;j+=i<<1) 
        {
            for(k=0;k<i;++k) 
            {
                int tmp=a[j+k];   
                a[j+k]=(ll)(a[j+k]+a[j+k+i])%mod;       
                a[j+k+i]=(ll)(tmp-a[j+k+i]+mod)%mod;     
                if(opt==-1) 
                {
                    a[j+k]=(ll)inv*a[j+k]%mod;   
                    a[j+k+i]=(ll)inv*a[j+k+i]%mod;   
                }   
            }
        }
    }
}
void dfs(int u,int ff) 
{
    FWT(f[u],1); 
    for(int i=0;i<G[u].size();++i) 
    {
        int y=G[u][i]; 
        if(y==ff) continue;   
        dfs(y,u);    
        for(int j=0;j<lim;++j) f[u][j]=(ll)f[u][j]*f[y][j]%mod;   
    }                   
    FWT(f[u],-1),f[u][0]=(f[u][0]+1)%mod,FWT(f[u],1);             
    G[u].clear();  
}
int main() 
{ 
    // setIO("input");  
    inv=qpow(2,mod-2);  
    int i,j,T;  
    T=read();  
    while(T--) 
    {  
        // scanf("%d%d",&n,&lim);     
        n=read(),lim=read(); 
        memset(f,0,sizeof(f)),memset(ans,0,sizeof(ans));   
        for(i=1;i<=n;++i) 
        {
            ++f[i][read()];   
        }
        for(i=1;i<n;++i) 
        {
            int x=read(),y=read();  
            G[x].push_back(y); 
            G[y].push_back(x);   
        }   
        dfs(1,0);  
        for(i=1;i<=n;++i)  FWT(f[i],-1);   
        for(i=1;i<=n;++i)  f[i][0]=(f[i][0]-1+mod)%mod;           
        for(i=1;i<=n;++i)  for(j=0;j<lim;++j) ans[j]=(ll)(ans[j]+f[i][j])%mod;   
        for(i=0;i<lim-1;++i) printf("%d ",ans[i]);   
        printf("%d\n",ans[lim-1]);    
    }
    return 0; 
}