fibonacci博弈

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1) 先手不能在第一次把所有的石子取完；

2) 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

第一次取任意多个，但不能全部取完，也不能不取，问先手赢还是后手赢

先说结论如果n是的fibonacci数，那么就是后手赢，否则是先手赢

当n=2，先手只能拿一个，后手赢。

假设f[i]为第i个fibonacci数

i<=k时结论成立，即f[k-1],f[k]都是后手赢

那么我们要证明f[k+1]=f[k-1]+f[k]的时候也是后手赢

首先我们把f[k+1]分成两堆，f[k-1]个和f[k]个

先考虑f[k-1]个，由于是后手赢，且x<=2*y

那么先手一开始拿最大值y>=1/3*f[k-1]

则后手最后一次拿最大值的x<=2/3*f[k-1]

有fibonacci数列的性质我们知道x<=2/3*f[k-1]<1/2*f[k]

所以后手在拿完f[k-1]个那堆时，先手并无法一次拿完f[k]个那堆

所以后手在n=f[k+1]个时的最优策略即为先拿f[k-1]的最后一个，再拿到f[k]的最后一个

我们再考虑先手如何在不是fibonacci数时必赢的策略

如果不是fibonacci数,n必定有唯一分解,n=f[a1]+f[a2]+....f[at]，a1<a2<at

因为二进制是可以唯一分解的而f[k]=f[k-1]+f[k-1]<2*f[k-1]，所以fibonacci数列比起2的幂次更为密集，必定可以唯一分解

而fibonacci数列的分解也有一定的特性，它必定不是连续fibonacci数

比如现在要分解9，优先取8，而不是3和5，那么这样5就不能被取到了。

我们令先手先取完f[a1]即最小的一堆，根据以上性质2*f[a1]<f[a2]，所以后手无法将f[a2]取完

此时就先手就变成了n-f[a1]=f[a2]+f[a3]+...f[at]这个子游戏的后手

那么我们由之前的后手最优策略，先手是必赢的