洛谷P2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition_usaco08mar 数据下载-优快云博客

本文深入探讨了背包问题的一种高效解决策略，通过分析物品的价值与体积比，利用单调栈和单调队列进行优化，实现对经典背包问题的快速求解。文章详细介绍了算法流程，包括预处理阶段的排序和筛选，以及主处理阶段的动态规划优化，最后通过实例展示算法的高效性和实用性。

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https://www.luogu.com.cn/problem/P2900

可以想到，我们只关注对答案有贡献的物品，那么对于一个物品的w和l都<=另一个，那么这个物品可以完全合并到另一个物品的组里面去，他不用背考虑。

于是我们按w从小到大第一关键字，l从大到小第二关键字，每个相同的w只取最大的，然后单调栈搞出个w从小到大，l从大到小的序列。

我们知道肯定是w越小的配l越大的比较好，所以肯定是这样顺序下连续的一段一段一组更优，接下来我们考虑如何将他们合并

dp[i]=min(w[i]*l[k]+dp[k-1])，表示前i个合并的最小值。

这个式子可以看出，对于每个i，w[i]恒定，l[k],dp[k-1]是之前求出来的一些点，要求dp[i]最小，很显然就是固定斜率，之前有很多点，斜率优化。

dp[k-1]=w[i]*(-l[k])+dp[i]，我们以(-l[k])为横坐标,dp[k-1]为纵坐标,那么与y轴的焦点的值就是dp[i]，我们希望dp[i]尽可能小。

(-l[k])递增,dp[k-1]递增，希望与y轴截距最小，通过画图分析，我们应该用单调队列维护一个斜率递增的序列.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxl=5e4+10;

int n,cnt,top;
long long ans;
long long dp[maxl];
struct node
{
	long long x,y;
}a[maxl],b[maxl],s[maxl];
__int128 t=1; 

inline bool cmp(const node &a,const node &b)
{
	if(a.x==b.x)
		return a.y>b.y;
	return a.x<b.x;
}

inline void prework()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	int top=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(top>0 && a[i].x==s[top].x)
			continue;
		while(top>0 && s[top].y<=a[i].y)
			top--;
		s[++top]=a[i];
	}
	cnt=top;
	for(int i=1;i<=top;i++)
		b[i]=s[i];
}

inline long long calc(long long k,int id)
{
	return -k*s[id].x+s[id].y;
}

inline bool cmpk(node a,node b,node c)
{
	return t*(c.y-b.y)*(b.x-a.x)<=t*(b.y-a.y)*(c.x-b.x);
}

inline void mainwork()
{
	ans=0;int head=1,tail=0;node d;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		d=node{-b[i].y,dp[i-1]};
		while(head<tail && cmpk(s[tail-1],s[tail],d))
			tail--;
		s[++tail]=d;
		while(head<tail && calc(b[i].x,head)>=calc(b[i].x,head+1))
			head++;
		dp[i]=calc(b[i].x,head);
	}
}

inline void print()
{
	printf("%lld",dp[cnt]);
}

int main()
{
	prework();
	mainwork();
	print();
	return 0;
}