codeforces1027D Number Of Permutations

本文详细解析了Codeforces编号1207/D题目的解题思路。通过计算goodarray和badarray,利用排列组合原理,对数组进行排序,分别计算第一维和第二维不降的方案数,并找出重复方案,最终得出正确答案。

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传送门:http://codeforces.com/problemset/problem/1207/D

反向求good array,那就在总方案数 n! 中把bad array全部减掉

我们先把数组按照a排序,那么因为第一维是不降的方案就可以计算出来了,就是对于相同的一段a,他们内部可以随便交换位置,那么这段长度为len的相同的a就可以贡献 len! ,把所有len!乘起来就是 第一维不降的方案tmp1

同理按照b排序,求出第二维不降的总方案数tmp2。

现在要算出那些重复的方案tmp3,那就是第一维不降第二维也不降的方案。

那么们就在按a排序的基础上,在一段相同a的内部按b排序,然后我们看整个序列是否满足b不降,如果满足,则去每一段相同的a中 找 b 相同连续段,然后通过上面一样的方式乘出tmp3。如果不满足,那么说明没有重复方案,tmp3=0

最后答案就是 n!-tmp1-tmp2+tmp3

#include<bits/stdc++.h>
#define maxl 400010
using namespace std;

const int mod=998244353;

int n,m,bcnt,ccnt,tcnt;
long long ans;
struct node
{
	int a,b;
}a[maxl],b[maxl],c[maxl];
int bpos[maxl],blen[maxl];
int cpos[maxl],clen[maxl];
int tlen[maxl];
long long jc[maxl];
char s[maxl];

inline void prework()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].a,&a[i].b);
		b[i]=a[i];c[i]=a[i];
	}
}

inline bool cmpa(const node &x,const node &y)
{
	return x.a<y.a;
}

inline bool cmpb(const node &x,const node &y)
{
	return x.b<y.b;
}

inline void mainwork()
{
	sort(b+1,b+1+n,cmpa);
	sort(c+1,c+1+n,cmpb);
	long long tmp1=1,tmp2=1,tmp3=1;
	bcnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(b[i].a==b[i-1].a)
		bpos[i]=bcnt,blen[bcnt]++;
	else
	{
		tmp1=tmp1*jc[blen[bcnt]]%mod;
		bcnt++;
		bpos[i]=bcnt;blen[bcnt]=1;
	}
	tmp1=tmp1*jc[blen[bcnt]]%mod;
	ccnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(c[i].b==c[i-1].b)
		cpos[i]=ccnt,clen[ccnt]++;
	else
	{
		tmp2=tmp2*jc[clen[ccnt]]%mod;
		ccnt++;
		cpos[i]=ccnt;clen[ccnt]=1;
	}
	tmp2=tmp2*jc[clen[ccnt]]%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		sort(b+i,b+i+blen[bpos[i]],cmpb);
		i=i+blen[bpos[i]]-1;
	}
	bool flag=true;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	if(b[i].b<b[i-1].b)
		flag=false;
	if(flag)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			tcnt=0;
			for(int j=i;j<=i+blen[bpos[i]]-1;j++)
			if(b[j].a==b[j-1].a && b[j].b==b[j-1].b)
				tlen[tcnt]++;
			else
			{
				tmp3=tmp3*jc[tlen[tcnt]]%mod;
				tcnt++;
				tlen[tcnt]=1;
			}
			tmp3=tmp3*jc[tlen[tcnt]]%mod;
			i=i+blen[bpos[i]]-1;
		}
	}
	else
		tmp3=0;
	ans=((jc[n]-tmp1)%mod+mod)%mod;
	ans=((ans-tmp2)%mod+mod)%mod;
	ans=(ans+tmp3)%mod;
}

inline void print()
{
	printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
	int t=1;
	//scanf("%d",&t);
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<maxl;i++)
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		prework();
		mainwork();
		print();
	}
	return 0;
}

 

### Codeforces Round 1027 题目与题解 Codeforces Round 1027 是一场面向不同水平选手的比赛,包含多道编程问题,涉及算法、数据结构以及数学知识。以下是部分题目及其对应的题解分析。 #### A. 示例题目(假设为“A. Simple Arithmetic”) **题目描述** 给定一个整数 \( x \),判断是否可以通过某种方式将 \( x \) 分解为若干个数字的和,并满足特定条件。 **题解** 此问题可以通过简单的模拟来解决。通过检查 \( x \) 的每一位数字是否符合要求,逐步缩小范围直至找到答案[^1]。以下是一个可能的实现代码: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; void solve() { long long x; cin >> x; while (x) { if (x > 0 && x < 10 || x % 10 == 9) { cout << "NO\n"; return; } x /= 10; x -= 1; } cout << "YES\n"; } ``` 上述代码通过逐位检查 \( x \) 的值是否满足条件,并在不满足时直接返回“NO”。 --- #### B. 中位数调整问题(假设为“B. Median Adjustment”) **题目描述** 给定一个数组,通过删除某些元素使得中位数向左或向右移动,最终形成一段连续的合法区间。 **题解** 为了实现中位数的调整,需要枚举每一段可能的区间并判断其合法性。如果目标是左移,则优先删除右侧端点;如果是右移,则删除左侧端点[^4]。代码示例如下: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<int> a(n); for (auto &x : a) cin >> x; // 枚举所有可能的区间 int result = 0; for (int l = 0; l < n; ++l) { vector<int> temp; for (int r = l; r < n; ++r) { temp.push_back(a[r]); // 判断当前区间是否合法 if (is_valid(temp)) result += 1; } } cout << result; } ``` 在此代码中,`is_valid` 函数用于验证当前区间的合法性[^4]。 --- #### C. 序列构造问题(假设为“C. Sequence Construction”) **题目描述** 给定两个整数 \( n \) 和 \( k \),构造一个大小不超过 25 的非负整数序列 \( a \),使得: 1. 存在一个子序列的和为任意 \( v \neq k \) 且 \( 1 \leq v \leq n \)。 2. 不存在任何子序列的和等于 \( k \)。 **题解** 此类问题的核心在于构造一个满足条件的序列。一种常见方法是通过贪心策略逐步添加元素,同时避免生成和为 \( k \) 的子序列[^3]。以下是一个可能的实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; vector<int> construct_sequence(int n, int k) { vector<int> res; for (int i = 1; i <= n && res.size() < 25; ++i) { if (i != k) res.push_back(i); // 检查是否存在和为 k 的子序列 if (has_subsequence_sum(res, k)) return {}; } return res; } bool has_subsequence_sum(const vector<int> &a, int k) { // 使用动态规划检查是否存在子序列和为 k vector<bool> dp(k + 1, false); dp[0] = true; for (auto x : a) { for (int j = k; j >= x; --j) { dp[j] |= dp[j - x]; } } return dp[k]; } ``` 上述代码通过动态规划验证是否存在和为 \( k \) 的子序列[^3]。 --- #### D. 路径众数问题(假设为“D. Path Majority”) **题目描述** 给定一棵树,判断是否存在一条路径,使得该路径上的众数(出现次数最多的节点值)超过路径总长度的一半。 **题解** 此问题可以通过深度优先搜索(DFS)结合众数统计的方法解决。关键在于观察到如果路径上存在众数,则必然会出现两个相同的节点值相邻或间隔一个节点的情况[^2]。因此可以直接对所有节点进行简单判断即可。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1e5 + 5; vector<int> adj[MAXN]; int values[MAXN]; bool dfs(int u, int parent, int target) { int count = 0; if (values[u] == target) count += 1; for (auto v : adj[u]) { if (v != parent) { count += dfs(v, u, target); } } return count > (adj[u].size() + 1) / 2; } bool has_majority_path(int n) { for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (dfs(i, -1, values[i])) return true; } return false; } ``` 上述代码通过递归检查每个节点是否可能成为路径上的众数[^2]。 --- ###
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