微积分复习（五）第二类线面积分

第二类曲线积分

 第二类曲线积分（路径积分） $$\begin{array}{rl}{\int }_{\Gamma }(\mathbf{A}\cdot {\mathbf{T}}^0)\mathrm{d}s& ={\int }_{\Gamma }[P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma ]\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)]\mathrm{d}t\end{array}$$ 平面曲线路径积分 ${\int }_{\Gamma }P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)]\mathrm{d}t$
 格林（Green）公式 若函数 $P$ 和 $Q$ 在有界闭区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则 ${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ P& Q\end{array}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，其中 $\Gamma =\partial D$。
 面积变换 ${\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\oint }_{\Gamma }-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y$
 平面曲线积分的路径无关性 若函数 $P$ 和 $Q$ 在平面单连通区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则下面四个条件等价：
 （1） 沿 $D$ 中任一条光滑闭曲线 $L$ 有 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$；
 （2） 对 $D$ 中任一条光滑曲线 $\Gamma$，曲线积分 ${\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 只与 $\Gamma$ 的起点终点有关而与路径 $\Gamma$ 无关；
 （3） $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 是 $D$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即存在 $D$ 上的函数 $u(x,y)$ 使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$；
 （4） 在 $D$ 上处处都有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$。
 曲线积分的牛顿-莱布尼茨公式 $u(x,y){|}_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)\mathrm{d}y$
 推论（全微分 $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 的原函数） 取 $(x_1,y_1)$ 为 $(x,y)$，则 $u(x,y){|}_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y+C$；特别地，若 $(0,0)\in D$，取 $(x_0,y_0)$ 为 $(0,0)$，有 $u(x,y){|}_{(0,0)}^{(x,y)}={\int }_0^{x}P(x,0)\mathrm{d}x+{\int }_0^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y+C$。
 平面复连通区域的路径无关性 若函数 $P$ 和 $Q$ 在平面复连通区域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上具有一阶连续偏导数且 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$，则环绕一些洞的任意两条同向闭合曲线的路径积分相等。

第二类曲面积分

 第二类曲面积分 $$\begin{array}{rl}{\iint }_S(\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0)\mathrm{d}S& ={\iint }_S[P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma ]\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_{S}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$ 高斯（Gauss）公式 设空间区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围成，若函数 $P$、$Q$ 和 $R$ 在 $V$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则 ${\iiint }_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。
 散度的偏导定义 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
 高斯公式的散度场形式 ${\iiint }_V\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}\mathrm{d}V=\iint (\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0)\mathrm{d}S=\iint \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$
 散度的极限定义 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M_0)=\underset{V\to M_0}{\lim }\frac{\iint \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}{V}$
  对三重积分应用中值定理，${\iiint }_V\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}\mathrm{d}V=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M^{\ast })\cdot V=\iint \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$，其中 $M^{\ast }$ 为 $V$ 中某一点，令 $V$ 收缩至 $M_0$（$V\to M_0$），此时 $M^{\ast }$ 也趋向于 $M_0$，故 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M_0)=\underset{V\to M_0}{\lim }\frac{\iint \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}}{V}$。
 散度场的物理意义 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}$ 是流量对体积的变化率，称 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M_0)$ 为 $A$ 在点 $M_0$ 处的流量密度。若 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M_0)>0$，该点流体流出，称为源；若 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}(M_0)<0$，该点流体流入，称为汇。若 $V$ 中各点处都有 $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathbf{A}=0$，则称 $\mathbf{A}$ 为无源场。

空间曲线积分

 斯托克斯（Stokes）公式 设光滑曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，$S$ 的侧面与 $L$ 的方向由右手定则确定，若函数 $P$、$Q$ 和 $R$ 在曲面 $S$（连同边界 $L$）上连续且具有一阶连续偏导数，则 ${\iint }_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_S\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|={\iint }_S\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\mathrm{d}S={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$。
 空间曲线积分的路径无关性 若函数 $P$、$Q$ 和 $R$ 在空间线单连通区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 上连续且具有一阶连续偏导数，则下面四个条件等价：
 （1） 沿 $\Omega$ 中任一条按段光滑封闭曲线 $L$ 有 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0$；
 （2） 对 $\Omega$ 中任一条按段光滑曲线 $\Gamma$，曲线积分 ${\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 只与 $\Gamma$ 的起点终点有关而与路径 $\Gamma$ 无关；
 （3） $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 是 $\Omega$ 内某一函数 $u$ 的全微分，即存在 $\Omega$ 上的函数 $u(x,y,z)$ 使得 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$；
 （4） 在 $\Omega$ 上处处都有 $\frac{\partial R}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial z}$、$\frac{\partial P}{\partial z}\equiv \frac{\partial R}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$。
 全微分 $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 的原函数 $u(x,y,z){|}_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x_1,y_1,z_1)}={\int }_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x_1,y_1,z_1)}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)\mathrm{d}y+{\int }_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)\mathrm{d}z$。取 $(x_1,y_1,y_1)$ 为 $(x,y,z)$，则 $u(x,y,z){|}_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)\mathrm{d}y+{\int }_{z_0}^{z}R(x,y,z)\mathrm{d}z+C$；特别地，若 $(0,0)\in D$，取 $(x_0,y_0,z_0)$ 为 $(0,0,0)$，有 $u(x,y,z){|}_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}={\int }_0^{x}P(x,0,0)\mathrm{d}x+{\int }_0^{y}Q(x,y,0)\mathrm{d}y+{\int }_0^{z}R(x,y,z)\mathrm{d}z+C$。
 旋度的偏导定义 $\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\nabla \times \mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
 斯托克斯公式的旋度形式 ${\iint }_S\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\iint }_S(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0)\mathrm{d}S={\oint }_L(\mathbf{A}\cdot {\mathbf{T}}^0)\mathrm{d}s={\oint }_L\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$
 旋度的极限定义 $(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0){|}_{M_0}=\underset{D\to M_0}{\lim }\frac{{\oint }_L\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}}{D}$
  对二重积分应用中值定理，${\iint }_S(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0)\mathrm{d}S=(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0){|}_{M^{\ast }}\cdot D={\oint }_L\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}S$，其中 $M^{\ast }$ 为 $D$ 中某一点，令 $D$ 收缩至 $M_0$（$V\to M_0$），此时 $M^{\ast }$ 也趋向于 $M_0$，故 $(\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}\cdot {\mathbf{n}}^0){|}_{M_0}=\underset{D\to M_0}{\lim }\frac{{\oint }_L\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}}{D}$。
 旋度场的物理意义  ${\oint }_L\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$ 称为由向量函数 $\mathbf{A}$ 的旋度 $\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}$ 定义的旋度场沿封闭曲线 $L$ 的环流量。若 $\mathbf{r}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{A}=0$，则称向量场 $\mathbf{A}$ 为无旋场。