微积分复习（四）多元函数积分学

二重积分

 二重积分（$f(x,y)$ 在 $\sigma$ 上的黎曼积分） ${\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$
 绝对值不等式 $\left|{\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \right|\le {\iint }_{\sigma }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$
 二重积分中值定理 若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $\sigma$ 上连续，则至少存在一点 $P(x^{\ast },y^{\ast })\in \sigma$，使得 ${\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(x^{\ast },y^{\ast })\sigma$，其中 $f(x^{\ast },y^{\ast })=\frac{1}{\sigma }{\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 称为 $f(x,y)$ 在 $\sigma$ 上的平均值。
 推论 若 $m\le f(x,y)\le M$，则 $m\sigma \le {\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M\sigma$。
 二重积分转化为累次积分 $$\begin{array}{rl}{\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$ 二重积分的极坐标变换 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$ $$\begin{array}{rl}{\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma & ={\iint }_{\sigma }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r={\int }_{r_1}^{r_2}\mathrm{d}r{\int }_{{\theta }_1(r)}^{{\theta }_2(r)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}\theta \end{array}$$ $$⟸\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}(r+\mathrm{d}r{)}^2\sin \mathrm{d}\theta -\frac{1}{2}{r}^2\sin \mathrm{d}\theta =r\mathrm{d}r\sin \mathrm{d}\theta +\frac{1}{2}(\mathrm{d}r{)}^2\sin \mathrm{d}\theta \sim r\mathrm{d}r\sin \mathrm{d}\theta \sim r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$
 二重积分的一般坐标变换（雅可比行列式） ${\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\sigma }g(u,v)|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ $$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{1}{\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right|}^{-1}$$

三重积分

 三重积分（密度函数 $f(x,y,z)$ 在空间立体 $V$ 上的质量） $M={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$
 三重积分转化为累次积分（投影法） $$\begin{array}{rl}{\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V& ={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}\mathrm{d}x{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\\ & ={\iint }_{{\sigma }_{zx}}\mathrm{d}\sigma {\int }_{y_1(x,z)}^{y_2(x,z)}f(x,y,z)\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{{\sigma }_{yz}}\mathrm{d}\sigma {\int }_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)}f(x,y,z)\mathrm{d}x\end{array}$$ 三重积分转化为累次积分（截割法） $$\begin{array}{rl}{\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V& ={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & ={\int }_e^f\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma ={\int }_e^f\mathrm{d}z{\iint }_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_c^d\mathrm{d}y{\iint }_{D_y}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma \\ & ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\iint }_{D_x}f(x,y,z)\mathrm{d}\sigma \end{array}$$ 三重积分的柱坐标变换 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ $${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V={\iiint }_{V}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z={\iint }_{\sigma }r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta {\int }_{z_1(r,\theta )}^{z_2(r,\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)\mathrm{d}z$$ 三重积分的球坐标变换 $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$ $${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V={\iiint }_{V}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$$ $$⟸\mathrm{d}V=\rho \tan \mathrm{d}\phi \cdot \rho \sin \phi \tan \mathrm{d}\theta \cdot \mathrm{d}\rho ={\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \tan \mathrm{d}\phi \tan \mathrm{d}\theta \sim {\rho }^2\sin \phi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$$
 三重积分的一般坐标变换（雅可比行列式） ${\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\iiint }_{V}g(u,v,w)|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$ $$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right|=\frac{1}{\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}}={\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial u}{\partial z}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial w}{\partial x}& \frac{\partial w}{\partial y}& \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right|}^{-1}$$

第一类线面积分

 第一类曲线积分（弧长积分） ${\int }_{\Gamma }f(P)\mathrm{d}s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(P_i)\Delta s_i={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$ $$\begin{array}{rl}⟸\mathrm{d}s& =\sqrt{[x(t+\mathrm{d}t)-x(t){]}^2+[y(t+\mathrm{d}t)-y(t){]}^2+[z(t+\mathrm{d}t)-z(t){]}^2}\\ & =\sqrt{x^{\prime 2}({\xi }_1)+y^{\prime 2}({\xi }_2)+z^{\prime 2}({\xi }_3)}\mathrm{d}t(t<{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3<t+\mathrm{d}t)\\ & =\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t\end{array}$$
 平面曲线弧长积分 ${\int }_{\Gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$
 （1） $\Gamma :y=\phi (x),x\in [a,b]⟹{\int }_{\Gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f(x,\phi (x))\sqrt{1+{\phi }^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$；
 （2） $\Gamma :x=\psi (y),y\in [c,d]⟹{\int }_{\Gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_c^{d}f(\psi (y),y)\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(y)}\mathrm{d}y$；
 （3） $\Gamma :r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]⟹{\int }_{\Gamma }f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$。
 第一类曲面积分 ${\iint }_{S}f(P)\mathrm{d}S=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(P_i)\Delta S_i$
 （1） $S:z=z(x,y),(x,y)\in {\sigma }_{xy}⟹{\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{{\sigma }_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma$；
  取面微元 $\mathrm{d}S$ 上一点 $P(x,y,z(x,y))$，则该点处法线的方向矢量 n=±{zx′,zy′,−1}\boldsymbol{n}=\pm \{z_x',z_y',-1\}n=±{zx′​,zy′​,−1}，记 $\gamma$ 为 $\mathbf{n}$ 与 $z$ 轴正方向的夹角，有 $\cos \gamma =\pm \frac{1}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}$，故 $\mathrm{d}S$ 在 $Oxy$ 平面上的投影面积 $\mathrm{d}\sigma =|\cos \gamma |\cdot \mathrm{d}S$，可得 $\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}\sigma }{|\cos \gamma |}=\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma$。
 （2） $S:y=y(x,z),(x,z)\in {\sigma }_{zx}⟹{\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{{\sigma }_{zx}}f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x^{\prime 2}+y_z^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma$；
 （3） $S:x=x(y,z),(y,z)\in {\sigma }_{yz}⟹{\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{{\sigma }_{yz}}f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_y^{\prime 2}+x_z^{\prime 2}}\mathrm{d}\sigma$；
 （4） 若 $S:F(x,y,z)=0$ 确定隐函数 $z=z(x,y),(x,y)\in {\sigma }_{xy}$，且 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$ 连续，则 ${\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{{\sigma }_{xy}}f(x,y,z(x,y))\frac{\sqrt{F_x^{\prime 2}+F_y^{\prime 2}+F_z^{\prime 2}}}{|F_z^{\prime }|}\mathrm{d}\sigma$。

点函数积分

 点函数积分 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(P_i)\Delta {\Omega }_i$
 点函数积分保号性 若 $f(P)\le g(P),P\in \Omega$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega \le {\int }_{\Omega }g(P)\mathrm{d}\Omega$；若连续函数 $f(P)\le g(P),P\in \Omega$ 且 $f(P)\not\equiv g(P)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega <{\int }_{\Omega }g(P)\mathrm{d}\Omega$。
 绝对值不等式 $\left|{\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega \right|\le {\int }_{\Omega }|f(P)|\mathrm{d}\Omega$
 点函数积分中值定理 若 $f(P)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上连续，则至少存在一点 $P^{\ast }\in \Omega$，使得 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega =f(P^{\ast })\Omega$，其中 $f(P^{\ast })=\frac{1}{\Omega }{\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega$ 称为 $f(P)$ 在 $\Omega$ 上的平均值。
 推论 若 $m\le f(P)\le M$，则 $m\Omega \le {\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega \le M\Omega$。
 点函数的分类
 （1） 若 $\Omega =[a,b]\subset \mathbb{R}$，此时 $f(P)=f(x)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$（一元函数定积分）；
 （2） 若 $\Omega =s\subset {\mathbb{R}}^2$，$s$ 是平面曲线，此时 $f(P)=f(x,y)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\int }_{s}f(x,y)\mathrm{d}s$（平面弧长积分）；
 （3） 若 $\Omega =s\subset {\mathbb{R}}^3$，$s$ 是空间曲线，此时 $f(P)=f(x,y,z)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\int }_{s}f(x,y,z)\mathrm{d}s$（空间弧长积分）；
 （4） 若 $\Omega =\sigma \subset {\mathbb{R}}^2$，$\sigma$ 是平面区域，此时 $f(P)=f(x,y)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\iint }_{\sigma }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$（二重积分）；
 （5） 若 $\Omega =S\subset {\mathbb{R}}^3$，$S$ 是空间曲面，此时 $f(P)=f(x,y,z)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\iint }_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S$（第一类曲面积分）；
 （6） 若 $\Omega =V\subset {\mathbb{R}}^3$，$V$ 是空间立体，此时 $f(P)=f(x,y,z)$，则 ${\int }_{\Omega }f(P)\mathrm{d}\Omega ={\iiint }_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$（三重积分）。
 重心 $\{\begin{array}{l}\bar{x}=\frac{1}{M}{\int }_{\Omega }\mu (P)x\mathrm{d}\Omega \\ \bar{y}=\frac{1}{M}{\int }_{\Omega }\mu (P)y\mathrm{d}\Omega \\ \bar{z}=\frac{1}{M}{\int }_{\Omega }\mu (P)z\mathrm{d}\Omega \end{array}$
 转动惯量 （1） $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3⟹\{\begin{array}{l}{I}_z={\int }_{\Omega }(x^2+y^2)\mu (P)\mathrm{d}\Omega \\ I_y={\int }_{\Omega }(z^2+x^2)\mu (P)\mathrm{d}\Omega \\ I_x={\int }_{\Omega }(y^2+z^2)\mu (P)\mathrm{d}\Omega \end{array}$ （2） $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2⟹\{\begin{array}{l}{I}_x={\int }_{\Omega }{y}^2\mu (P)\mathrm{d}\Omega \\ I_y={\int }_{\Omega }{x}^2\mu (P)\mathrm{d}\Omega \end{array}$
 引力 $\{\begin{array}{l}{F}_x=km{\int }_{\Omega }\frac{\mu (P)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega \\ F_y=km{\int }_{\Omega }\frac{\mu (P)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega \\ F_z=km{\int }_{\Omega }\frac{\mu (P)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega \end{array},r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}$