微积分复习（三）多元函数微分学

多元函数的极限与连续性

 多元函数的极限 设二元函数 $z=f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(P_0)$ 内有定义。若存在常数 $A$，$\forall ϵ>0$，$\exists \delta >0$，当 $0<\rho (P,P_0)=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时，都有 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ϵ$，则称 $A$ 是函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ （以任意方式）趋于点 $P_0(x_0,y_0)$ 时的极限，记作 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $\underset{P\to P_0}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $f(x,y)\to A$ $(x\to x_0,y\to y_0)$。
 累次极限与二重极限 若累次极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$ 和 $\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$ 与二重极限 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)$ 都存在，则三者相等。
 推论 若累次极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$ 和 $\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$ 存在但不相等，则二重极限 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)$ 不存在。
 二元函数的全增量 $\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
 二元函数的偏增量 $\{\begin{array}{l}{\Delta }_{x}z=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)\\ {\Delta }_{y}z=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\end{array}$

偏导数与全微分

 二元函数的偏导数 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\Delta }_{x}z}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$$ 存在，则称该极限值为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记作 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 或 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}$ 或 ${z_x^{\prime }|}_{(x_0,y_0)}$ 或 ${\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)|}_{(x_0,y_0)}$，否则称 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数不存在。若 ${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0)|}_{x=x_0}$ 存在，则 ${\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)|}_{(x_0,y_0)}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0)|}_{x=x_0}$。
 偏导顺序无关性 若函数 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数 $f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)$ 和 $f_{yx}^{\prime \prime }(x,y)$ 都在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$。
 二元函数的全微分 若二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全增量 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 可表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$ $(\rho \to 0)$，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，其中 $\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，此时函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数 $f_x^{\prime }(x,y)$ 和 $f_y^{\prime }(x,y)$ 都存在，且成立 $A=f_x^{\prime }(x,y)$ 和 $B=f_y^{\prime }(x,y)$，故有 $\mathrm{d}z=f_x^{\prime }(x,y)\mathrm{d}x+f_y^{\prime }(x,y)\mathrm{d}y=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$。
 可微的充分条件 若函数 $z=f(x,y)$ 的两个偏导数 $f_x^{\prime }(x,y)$ 和 $f_y^{\prime }(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微。
 全增量公式 $\Delta z=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y+{ϵ}_1\Delta x+{ϵ}_2\Delta y$ $(\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x_0\to 0}{y_0\to 0}}{\lim }{ϵ}_1=0,\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x_0\to 0}{y_0\to 0}}{\lim }{ϵ}_2=0)$

复合函数微分法

 复合偏导公式 若函数 $u=\phi (x,y)$ 和 $v=\psi (x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数都存在，$z=f(u,v)$ 在点 $(u,v)$ 处可微，则复合函数 $z=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，且满足 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$。
 极坐标下的复合偏导 ${\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial \theta }\right)}^2={\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$
 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial u}{\partial y}\sin \theta \\ \frac{\partial u}{\partial \theta }=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta }+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin \theta +\frac{\partial u}{\partial y}r\sin \theta \end{array}⟹{\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial \theta }\right)}^2={\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2$

场的方向导数与梯度

 方向导数定义 设数量场三元函数 $u$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域 $U(P_0)\subset {\mathbb{R}}^3$ 内有定义，$\mathbf{l}$ 为从点 $P_0$ 出发的射线，$P(x,y,z)$ 为 $\mathbf{l}$ 上且含于 $U(P_0)$ 内的任一点，若极限 $\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{u(P)-u(P_0)}{\rho }=\underset{\rho \to 0}{\lim }\frac{{\Delta }_{\mathbf{l}}u}{\rho }$ 存在，则称该极限值为函数 $u$ 在点 $P_0$ 处沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数，记作 ${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}$。
 方向导数公式 若函数 $u$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，则 $u$ 在点 $P_0$ 处沿任一方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数都存在，且 ${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}={\frac{\partial u}{\partial x}|}_{P_0}\cos \alpha +{\frac{\partial u}{\partial y}|}_{P_0}\cos \beta +{\frac{\partial u}{\partial z}|}_{P_0}\cos \gamma$，其中方向 $\mathbf{l}$ 上的单位矢量 l 0 = { cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ } \boldsymbol{l}^0=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\} l0={cosα,cosβ,cosγ}。
 梯度 ${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}={\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)|}_{P_0}\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )={\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)|}_{P_0}\cdot {\mathbf{l}}^0$，记函数 $u(P)$ 在点 $P$ 处的梯度 $\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)=\frac{\partial u}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\hat{k}$，则 ${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}=\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u(P_0)\cdot {\mathbf{l}}^0=|\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u(P_0)||{\mathbf{l}}^0|\cos \theta =|\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u(P_0)|\cos \theta$，其中 $\theta$ 为梯度矢量 $\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}u(P_0)$ 与单位方向矢量 ${\mathbf{l}}^0$ 的夹角。

多元函数的极值

 极值的必要条件 若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处存在偏导数且取到极值，则 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。若函数 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$，则称点 $P_0$ 为函数 $f$ 的驻点或稳定点。
 极值的充分条件 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内连续，且存在二阶连续偏导数，若 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$，记 $D=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)& f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\end{array}\right|$，
 （1） 若 $D>0$，则 $f(x_0,y_0)$ 必为极值点，且当 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$ 或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)>0$ 时为极小值点，当 $f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$ 或 $f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)<0$ 时为极大值点；
 （2） 若 $D<0$，则 $f(x_0,y_0)$ 不是极值点；
 （3） 若 $D=0$，本法则不能判断是否为极值。
 条件极值的拉格朗日乘数法 若 $P_0$ 是多元函数 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 在约束条件 ${\psi }_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$ $(i=1,2,\dots ,m)$ 下的极值点，记拉格朗日函数 $L(x_1,x_2,\dots ,x_n,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots {\lambda }_m)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{\psi }_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，则极值点是方程组 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x_i}=0(i=1,2,\dots ,n)\\ \frac{\partial L}{\partial {\lambda }_j}=0(j=1,2,\dots ,m)\end{array}$ 的解。

偏导数在几何上的应用

 矢值函数 $\mathbf{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$
 矢值函数的导数 ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x\hat{i}+\Delta y\hat{j}+\Delta z\hat{k}}{\Delta t}=x^{\prime }(t)\hat{i}+y^{\prime }(t)\hat{j}+z^{\prime }(t)\hat{k}$
 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$，则点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切矢量 d r d t ∣ P 0 = { x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) } \left.\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\right|_{P_0}=\{x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\} dtdr​∣∣∣∣​P0​​={x′(t0​),y′(t0​),z′(t0​)} 即切线的方向矢量和法平面的法矢量，故切线的点向式方程为 $\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$，法平面点法式方程为 $x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$。
 空间曲面的切平面与法线 设空间曲面方程 $F(x,y,z)=0$，取曲面上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，令曲面上过点 $M_0$ 的曲线 $\Gamma :\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$，则曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切矢量 r ′ = { x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) } \boldsymbol{r}'=\{x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\} r′={x′(t0​),y′(t0​),z′(t0​)}。此时有 $F(x(t),y(t),z(t))\equiv 0$，两边对 $t$ 求偏导得 $F_x^{\prime }\cdot x^{\prime }(t)+F_y^{\prime }\cdot y^{\prime }(t)+F_z^{\prime }\cdot z^{\prime }(t)=0$，记 n = { F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) } \boldsymbol{n}=\{F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)\} n={Fx′​(x0​,y0​,z0​),Fy′​(x0​,y0​,z0​),Fz′​(x0​,y0​,z0​)}，在点 $M_0$ 处恒有 $\mathbf{n}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }=0$，易知 $\mathbf{n}$ 为切平面的法矢量和法线的方向矢量，故切平面的点法式方程为 $F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$，法线的点向式方程为 $\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}$。