微积分复习（三）多元函数微分学

多元函数的极限与连续性

 多元函数的极限 设二元函数 $z=f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(P_0)$ 内有定义。若存在常数 $A$，$\forall ϵ>0$，$\exists \delta >0$，当 $0<\rho (P,P_0)=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时，都有 $|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<ϵ$，则称 $A$ 是函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ （以任意方式）趋于点 $P_0(x_0,y_0)$ 时的极限，记作 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $\underset{P\to P_0}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)=A$ 或 $f(x,y)\to A$ $(x\to x_0,y\to y_0)$。
 累次极限与二重极限 若累次极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$ 和 $\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$ 与二重极限 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)$ 都存在，则三者相等。
 推论 若累次极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$ 和 $\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$ 存在但不相等，则二重极限 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)$ 不存在。
 二元函数的全增量 $\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
 二元函数的偏增量 $\{\begin{array}{l}{\Delta }_{x}z=f(x,y_0)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)\\ {\Delta }_{y}z=f(x_0,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\end{array}$

偏导数与全微分

 二元函数的偏导数 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\Delta }_{x}z}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$$ 存在，则称该极限值为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数，记作 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 或 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(x_0,y_0)}$ 或 ${z_x^{\prime }|}_{(x_0,</}$