多项式求逆

最新推荐文章于 2019-08-15 19:13:00 发布

litble

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分类专栏：数学文章标签：多项式求逆 NTT

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本文介绍了一种求解多项式逆元的方法，利用已知条件递归地找到满足特定模意义下等式成立的多项式G。通过数学推导展示了如何从较低次数的逆元推导出较高次数的逆元，并提供了基于快速傅立叶变换（NTT）的高效实现。

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例题：洛谷P4238
什么是多项式的逆呢？嗯，就是如例题题面描述的那样，求满足 $F(x)G(x) \equiv 1 \pmod{x^n}$ 的G。
如果多项式F只有一项，那么显然 $G_0$ 就是 $F_0$ 的逆元。
若有n项，递归求解。
假如我们已知 $F(x)H(x) \equiv 1 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}$
又显然 $F(x)G(x) \equiv 1 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}$
那么 $F(x)(G(x)-H(x))\equiv 0 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}$
即 $G(x)-H(x)\equiv 0 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}$
两边同时平方。由于 $G(x)-H(x)$ 在模 $x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$ 为0，则其0次项到 $\lceil \frac{n}{2} \rceil-1$ 次项都为0。平方后的多项式记为P，则 $P_i= \sum_{j=0}^i (G(x)-H(x))_j (G(x)-H(x))_{i-j}$ ，显然 $(G(x)-H(x))_j$ 和 $(G(x)-H(x))_{i-j}$ 至少有一项的次数小于 $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ ，为0，所以：
$G(x)^2+H(x)^2-2G(x)H(x) \equiv 0 \pmod{x^n}$
两边同时乘F(x)，再由 $F(x)G(x) \equiv 1 \pmod{x^n}$ 可得： $G(x) \equiv 2H(x)-F(x)H(x)^2 \pmod{x^n}$
用NTT来做多项式乘法即可解决本题。
时间复杂度是 $O(nlogn)$ 的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
#define RI register int
const int mod=998244353,G=3,N=2100000;
int n;
int a[N],b[N],c[N],rev[N];
int ksm(int x,int y) {
    int re=1;
    for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y&1) re=1LL*re*x%mod;
    return re;
}
void NTT(int *a,int n,int x) {
    for(RI i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(RI i=1;i<n;i<<=1) {
        RI gn=ksm(G,(mod-1)/(i<<1));
        for(RI j=0;j<n;j+=(i<<1)) {
            RI t1,t2,g=1;
            for(RI k=0;k<i;++k,g=1LL*g*gn%mod) {
                t1=a[j+k],t2=1LL*g*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(t1+t2)%mod,a[j+k+i]=(t1-t2+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(x==1) return;
    int ny=ksm(n,mod-2); reverse(a+1,a+n);
    for(RI i=0;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*ny%mod;
}
void work(int deg,int *a,int *b) {
    if(deg==1) {b[0]=ksm(a[0],mod-2);return;}
    work((deg+1)>>1,a,b);
    RI len=0,orz=1;
    while(orz<(deg<<1)) orz<<=1,++len;
    for(RI i=1;i<orz;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    for(RI i=0;i<deg;++i) c[i]=a[i];
    for(RI i=deg;i<orz;++i) c[i]=0;
    NTT(c,orz,1),NTT(b,orz,1);
    for(RI i=0;i<orz;++i)
        b[i]=1LL*(2-1LL*c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
    NTT(b,orz,-1);
    for(RI i=deg;i<orz;++i) b[i]=0;
}
int main()
{
    n=read();
    for(RI i=0;i<n;++i) a[i]=read();
    work(n,a,b);
    for(RI i=0;i<n;++i) printf("%d ",b[i]);
    return 0;
}