【数学】整数线性规划问题与对偶单纯形法

我们此前探讨过了一般的单纯形法(传送门)，这次则来研究所谓“对偶单纯形法”。

线性规划的对偶问题

原始的线性规划问题：
$\max c^{T}x$
$Ax\le b$
$x\ge 0$

它的对偶问题：
$\min b^{T}y$
$A^{T}y\ge c$
$y\ge 0$

容易看出，对偶的对偶就是它自身。

定理1：$c^{T}x\le (A^{T}y{)}^{T}x=y^T(Ax)\le y^{T}c=c^{T}y$

定理2：若原始问题有一组可行解$x$，对偶问题有一组可行解$y$，且$c^{T}x=b^{T}y$，则两个解分别是它们的最优解。（由定理1确定的上下界知，显然）

定理3：若原问题有最优解，则对偶问题有最优解。
证明：
先按照单纯形的流程做一下，在原问题引入松弛变量$u$后转化为$Ax+Eu=b$。我们找到了一组基本最优解，基向量为$x_B=B^{-1}b$。
还记得最优解的条件码？对，检验数。由于这个原问题是最大化问题，所以检验数此时应该全部小于等于0。
还记得检验数的公式吗？${\lambda }^T=c^T-c_B^T{B}^{-1}A$，不过由于我们加了变量没有扩展$A$，所以松弛变量$u$这一块要额外考虑考虑。考虑的结果就是：
${\lambda }^T=(c^T-c_B^T{B}^{-1}A,-c_B^T{B}^{-1}E)$
因此$c^T-c_B^T{B}^{-1}A\le 0$即$c^T\le c_B^T{B}^{-1}A$。两边同时取反一下得：$c\le A^T((B^{-1}{)}^T{c}_B)$
对比一下对偶问题的条件$A^{T}y\ge c$，发现$y=(B^{-1}{)}^T{c}_B$是一组可行解。
而$y^{T}b=c_B^T{B}^{-1}b=c_B^T{x}_B$，即$b^{}$