【数学】平摊分析与动态表问题

普通的动态表问题

我们需要用一个数据结构存储一些数据，但并不知道数据有多少个，所以也不知道申请多少空间合适。因此，我们采取了动态申请空间的策略，假设现在表的大小为$size$，数据数为$num$。
若$num<size$时需要添加一个数据，直接加入即可，单次操作复杂度为1。
当$num=size$时需要添加一个数据，则申请一个大小为$2size$的空间，然后将原来的$num$个数加上新加的数据都放进新空间里，复杂度为$num+1$。
假设插入$n$次，那么这样一个数据结构的均摊复杂度是多少呢？

朴素的分析是，单次操作是$O(n)$的，操作数是$O(n)$的，所以是$O(n^2)$。
这是一个很松的上界，可以做更好的估计。

采用聚集分析的话，当$i-1$为2的次幂时，$c_i=i$。其他时候$c_i=1$。
所以总代价${\sum }_{i=0}^n{c}_i\le n+{\sum }_{i=1}^{\lfloor \log n\rfloor }{2}^i\le 3n$
平摊代价$\frac{3n}{n}=3$。

有了这个启发后，我们还可以设计记账法来分析。
一次插入的记账为3，其中1的代价给这次新插的数用，1的代价存款在新插的数上，1的代价给一个没有存款的数据。一次扩张后到下一次扩张前，新插的数据的个数和旧的数据个数是相等的，所以每次扩张时，动态表内的所有数上均有1的存款，那么换空间的复杂度只需要消耗这些存款了。

最后，考虑势函数法。
决定势函数的只有两个东西，$size$和$num$，不妨先待定系数，设$\Phi (T)=anum+bsize$
首先，我们考虑触发表扩张的一个操作，需要让它的平摊代价为常数。这里的$num$和$size$设为添加新数据前的：