Advent of Code 2025 挑战全手写代码 Day 12 - 圣诞树农场（完结撒花）

Advent of Code 2025 最终挑战解析

原创于 2025-12-12 13:55:34 发布 · 281 阅读

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🎄 Advent of Code 2025 挑战全手写代码 Day 12 - 圣诞树农场

大家好，昨天的题目有没有让你“回血”？今天（最后一天了！）的题目 Christmas Tree Farm 乍一看是恐怖的 二维装箱问题 (2D Bin Packing)，难度似乎直逼五星 ⭐⭐⭐⭐⭐。但如果你仔细分析数据，会发现这其实是一道披着狼皮的羊（难度 ⭐⭐），核心考察：多格骨牌 (Polyominoes)、面积约束 (Area Constraint)、以及最重要的——对输入数据的敏感度。

advent-of-code-2025-day-12

📖 题目速览

题目地址：https://adventofcode.com/2025/day/12
背景：穿过通风管道，你来到了地下的圣诞树农场。精灵们正在疯狂装饰，但他们担心礼物塞不进树下的区域。你需要帮助他们判断：给定的每一组形状怪异的礼物（多格骨牌），能否完美放入指定大小的矩形区域中？
输入：
- 定义了 6 种标准的礼物形状（0-5 号）。
- 给出了 1000 个测试用例，每个用例包含区域尺寸（如 12x5）和需要放入的各种形状的数量。
- 要求：礼物不能重叠，必须对齐网格，可以旋转和翻转。

🧠 解题思路 (Python 🐍)

初见杀：回溯法与 DLX 的诱惑

看到“将多格骨牌完美填入矩形”这类描述，算法竞赛选手的 DNA 动了，脑海里立刻浮现出：

回溯搜索 (Backtracking)：尝试在每个位置放置一个形状，递归解决剩余空间。
Dancing Links (DLX)：精确覆盖问题 (Exact Cover) 的终极杀器。

然而，看一眼输入数据：有些区域需要放入 数百个 礼物！对于这种规模，经典的回溯法即使加了剪枝也极易超时（状态空间爆炸）。难道要写高度优化的 DLX？

转机：必要条件 vs 充分条件

在动手写复杂算法前，我们先检查一个最基本的必要条件：

礼物的总面积必须小于等于区域的总面积。

这是一个显然的物理铁律。如果礼物总面积 > 区域面积，那是绝对塞不进去的（Impossible）。

数据分析：通过现象看本质

我写了一个简单的脚本，计算了所有测试用例的“填充密度”（礼物总面积 / 区域总面积）。结果令人震惊：

“不可能”的案例：礼物总面积 严格大于 区域面积（通常只溢出 1-3 个单位）。
“可能”的案例：礼物总面积 远小于 区域面积。填充密度最大仅为 73%，意味着至少有 25% 以上的空余空间。

结论：这道题的数据分布呈现极端的两极分化。

要么面积不够（绝对不可能）。
要么空间极其富余（在 70% 左右的密度下，用小块骨牌填充大矩形几乎总是可行的）。

因此，我们不需要实现复杂的装箱算法，只需要通过面积检查即可！

🧩 关键代码片段

代码简单到难以置信，但这就是 AOC 的魅力——Sometimes the best code is no code.

class Solution:
    def solve_part1(self):
        self.parse_input() # 解析形状和区域数据

        possible_count = 0

        for region in self.regions:
            # 1. 计算区域总面积
            grid_area = region["w"] * region["h"]

            # 2. 计算所有礼物的总面积
            presents_area = 0
            for shape_idx, count in enumerate(region["counts"]):
                if count > 0:
                    shape_area = self.get_shape_area(self.shapes[shape_idx])
                    presents_area += count * shape_area

            # 3. 核心逻辑：基于数据特性的面积判定
            # 分析表明：只要面积不溢出，剩余空间足够大，总是能塞进去的
            if presents_area <= grid_area:
                possible_count += 1
            # else: 面积溢出，绝对不可能

        return possible_count

    def get_shape_area(self, shape):
        return len(shape) # 形状占据的格子数

✨ 代码复盘 & 优化思考

为什么这么做是对的？
这不是数学上的严格证明，而是工程上的数据驱动决策。在实际工程中，我们经常遇到类似情况：理论上的最坏情况（NP-Hard）在实际业务数据中几乎不会出现。针对特定数据分布优化，往往能得到 O(1) 或 O(N) 的解法，而不需要 O(2^N) 的通用解法。
如果是通用情况怎么办？
如果题目要求填充密度达到 100%（完美平铺），或者密度在 95% 以上，那么简单的面积检查就会失效。这时必须使用：
1. 回溯 + 启发式剪枝：比如优先填大块，优先填角和边。
2. 连通性检查：放置一块后，检查剩余空白区域是否被分割成了无法被任何剩余形状填充的小块（Flood Fill）。
3. 染色法：利用国际象棋棋盘染色等不变量来辅助剪枝。

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