串类型详解与模式匹配算法-优快云博客

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本文详细介绍了串（字符串）的基本概念，包括定义、长度、空串、子串、主串、位置和相等性。接着探讨了串的三种存储方式：定长顺序存储、堆分配存储和块链存储，以及存储密度的概念。重点讨论了串的模式匹配算法，包括BF算法和KMP算法，分析了它们的时间复杂度和优缺点。最后，通过文本编辑和建立词索引表的应用示例展示了串操作的实际用途。

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1 串类型的定义

1.1 串

串(string)（或字符串）是由零个或多个字符组成的有限序列，一般记为

$'a_1 a_2 \cdots a_n ' (n \ge 0)$

其中，s是串的名，用单引号括起来的字符序列是串的值

$a_i(1 \le i \le n)$ 可以是字母、数字或其他字符

1.2 长度

串中字符的数目 $n$ 称为串的长度

1.3 空串

零个字符的串称为空串(null string)，它的长度为零。

1.4 子串

串中任意个连续字符组成的子序列称为该串的子串。

1.5 主串

包含子串的串相应地称为主串。

1.6 位置

通常称字符在序列中的序号为在串中的位置。

子串在主串中的位置则以子串的第一个字符在主串中的位置来表示

1.7 相等

称两个串是相等的，当且仅当这两个串的值相等。

也就是说，只有当两个串的长度相等，并且各个对应位置的字符都相等时才相等。

2 串的表示和实现

2.1 定长顺序存储表示

用一组地址连续的存储单元存储串值的字符序列

2.2 堆分配存储表示

仍以一组地址连续的存储单元存储串值的字符序列，但它们的存储空间是在程序执行过程中动态分配而得。

2.3 串的块链存储表示

2.4 存储密度

$\frac{串值所占的存储位}{实际分配的存储位}$

3 串的模式匹配算法

3.1 求子串位置的定位函数 Index(S, T, pos)

3.1.1 模式匹配

子串的定位操作通常称作串的模式匹配（其中T称为模式串）

3.1.2 BF算法

3.1.2.1 算法描述

将主串的第pos个字符和模式的第一个字符比较，

若相等，继续逐个比较后续字符；
若不等，从主串的下一字符起，重新与模式的第一个字符比较。

直到主串的一个连续子串字符序列与模式相等。返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。

否则，匹配失败，返回值 0

3.1.2.2 时间复杂度

若n为主串长度，m为子串长度，最坏情况是

主串前面n-m个位置都部分匹配到子串的最后一位，即这n-m位各比较了m次

最后m位也各比较了1次

总次数为： $(n - m) * m + m ＝ (n - m + 1) * m$

若 $m < < n$ ，则算法复杂度 $O (n * m)$

3.2 模式匹配的一种改进算法（KMP算法）

3.2.1 时间复杂度

此算法可以在 $O (n + m)$ 的时间数量级上完成串的模式匹配操作。

3.2.2 改进之处

每当一趟匹配过程中出现字符串比较不等时，不需回溯i指针

而是利用已经得到的“部分匹配”的结果，将模式串向右“滑动”尽可能远的一段距离后，继续进行比较

3.2.3 代码实现

const int maxn = 1e6 + 10;
int nxt[maxn];
char s1[maxn], s2[maxn];
int len1, len2;
void get_next(){
    int i = 0, j = -1;
    nxt[0] = -1;
    while(i < len2) {
        if(j == -1 || s2[i] == s2[j]) {
            i++;
            j++;
            nxt[i] = j;
        }else
            j = nxt[j];
    }
    return ;
}

void kmp() {
    int i = 0, j = 0;
    get_next();
    while(i < len1){
        if(j == -1 || s1[i] == s2[j]) {
            ++i;
            ++j;
        }else
            j = nxt[j];
        if(j == len2){ //成功匹配 i为主串下标 j为模式串下标
            pd(i - len2);
            j = nxt[j];
        }
    }
}