5、平面理想流：从理论到应用的全面解析

平面理想流：从理论到应用的全面解析

1. 平面理想流的基础概念

平面理想流是满足特定条件的二维流动。具体而言，它需满足以下两个方程：
- 连续性方程：$\Theta \equiv \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ ，这一方程确保了流体在流动过程中的质量守恒。
- 无旋性方程：$\zeta \equiv \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ ，意味着流体在流动时没有旋转现象。

满足这两个方程的流动同时也满足欧拉方程（在无外力作用的情况下），我们将其称为理想流。与之相关的压力表达式为 $p = const. - \frac{1}{2}\rho q^2$ 。这个公式与伯努利方程相似，但不受限于粒子轨迹，伯努利方程中的常数在不同流线上会有所变化，而此公式中的常数对于整个流动是相同的。

值得注意的是，并非所有满足连续性方程的欧拉方程解都满足无旋性方程，但满足这两个条件的流动在空气动力学中具有特别重要的意义。

2. 复变函数基础回顾

2.1 复数的基本运算

• 虚数是由实数 $y$ 乘以虚数单位 $i$ 得到的，虚数单位 $i$ 具有特殊性质 $i^2 = -1$ 。
• 复数 $z$ 由实数 $x$ 和虚数 $iy$ 相加而成，即 $z = x + iy$ ，它建立了平面上的点与复数之间的一一对应关系，$x + iy$ 被称为点 $(x, y)$ 的复坐标。