25、fMRI激活网络分析：使用玻色 - 爱因斯坦熵

fMRI激活网络分析：使用玻色 - 爱因斯坦熵

1. 引言

在高维数据中，图是表示复杂交互模式的强大工具。例如，在功能磁共振成像（fMRI）数据里，图可呈现激活模式，这些模式可能预示着阿尔茨海默病的早期发作。而图的核方法则为确定不同图的类别结构提供了新兴且强大的工具，像热扩散核、随机游走核和最短路径核等，都成功利用了拓扑信息。不过，现有图核方法面临的一个主要挑战是，难以以概率方式捕捉不同类别图的变化。

近年来，统计力学和信息论被用于深入理解网络结构的变化。比如，基于玻色气体的物理类比，玻色 - 爱因斯坦凝聚现象被用于研究网络结构的显著特征，还拓展到理解网络中的超对称等过程。但这些类比虽有用，却不易融入基于核的机器学习方法。

本文旨在搭建统计力学和核方法之间的桥梁，通过网络熵定义信息论核。具体而言，利用玻色 - 爱因斯坦熵构建詹森 - 香农核，再应用核主成分分析（kPCA）将图映射到低维特征空间，最后对疑似阿尔茨海默病患者的fMRI激活网络进行分类。

2. 量子表示中的图

在量子领域表示图时，涉及密度矩阵、哈密顿算子和冯·诺依曼熵等概念。
- 密度矩阵 ：在量子力学中，密度矩阵用于描述状态为多个纯量子态集合的系统，定义为 $\rho = \sum_{i=1}^{V} p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$。在图领域，可通过将归一化离散拉普拉斯矩阵按图中节点数的倒数进行缩放得到图或网络的密度矩阵。该密度矩阵是厄米特矩阵（$\rho = \rho^{\dagger}$ 且 $\rho \geq 0$，$Tr\rho = 1$），在量子观测过程中可用于计算可测量量的期望值