19、伦敦塔与河内塔变体：对称技术与定向移动研究

伦敦塔与河内塔变体：对称技术与定向移动研究

1. 伦敦图的对称技术

为了将对称技术应用于更复杂的伦敦图，我们需要更严格地定义一些概念。对于 (n,p \in N)，定义群 ((\Gamma_{np}, \cdot, 1_{np})) 如下：
(\Gamma_{np} = Sym_n \times Sym_p)，((\chi_1,\pi_1) \cdot (\chi_2,\pi_2) = (\chi_1 \circ \chi_2,\pi_1 \circ \pi_2))，(1_{np} = (id_n,id_p))。
显然，该群的阶为 (|\Gamma_{np}| = n! \cdot p!)。

接下来描述 (\Gamma_{np}) 在集合 (X = V(L^h_n)) 上的作用，其中 (h \in [n]^p)。一个状态 (s = \Sigma_1 | \cdots | \Sigma_p) 会被转换为 ((\chi,\pi).s = X(\Sigma_{\pi^{-1}(1)} | \cdots | \Sigma_{\pi^{-1}(p)}))，这里 (X) 会根据 (\chi) 对所有球的颜色进行置换。例如，在 (O^3_2) 的例子中，状态 (2 || 1) 先通过桩的旋转 (\pi = 312)（(\pi^{-1} = 231)）转换为 (|1 |2)，再通过颜色的交换 (\chi = 21) 转换为 (|2 |1)，即 ((21,312).2 || 1 = |2 |1)。

通过分析这个作用下的不动点，我们可以分析状态的等价集。同样，通过 (\Gamma_{np}) 在集合 (V(L^h_n) \dot{\times} V(L^h_n)) 上的作用，可以