25、条件独立性的有限公理化

条件独立性的有限公理化

1. 逻辑基础与相关定义

在逻辑推理领域，我们常常会遇到各种类型的逻辑扩展。一阶逻辑通过依赖原子、条件独立原子和包含原子进行扩展，分别形成了依赖逻辑（FO(=(…))）、独立逻辑（FO(⊥c)）和包含逻辑（FO(⊆)）。其中，仅包含纯独立原子的独立逻辑片段被称为纯独立逻辑，记为 FO(⊥)。对于原子集合 C ⊆ {=(…), ⊥c, ⊆}，我们用 FO(C) 表示带有这些原子的一阶逻辑。

这些逻辑具有一些重要的性质：
- 空团队性质 ：对于所有模型 M 和公式 φ ∈ FO(C)，都有 M |=∅ φ。
- 局部性 ：若 φ ∈ FO(C) 且 Fr(φ) ⊆ V，那么对于所有模型 M 和团队 X，M |=X φ 等价于 M |=X↾V φ。
- 逻辑等价性 ：包含原子 x ⊆ y 逻辑等价于纯独立逻辑公式 ∀v1v2z((z ≠ x∧z ≠ x)∨(v1 ≠ v2 ∧z ≠ y)∨((v1 = v2 ∨z = y)∧z ⊥v1v2))，其中 v1, v2 和 z 是新变量。此外，任何独立逻辑公式都逻辑等价于某个纯独立逻辑公式；任何依赖（或独立）逻辑句子 φ 逻辑等价于某个存在二阶逻辑句子 φ∗，反之亦然；任何包含逻辑句子 φ 逻辑等价于某个正最大不动点逻辑句子 φ∗，反之亦然。

2. 演绎系统

我们面临的一个重要问题是包含和独立原子的蕴含问题，即给定一个由条件独立和包含原子组成的有限集合 Σ∪{φ}，判断是否有 Σ |= φ。为了解决这个问题，我们引入了一个演绎系统，除了通常的合取引入和消