11、图表示、独立性与数据生成过程中的马尔可夫条件

图表示、独立性与数据生成过程中的马尔可夫条件

1. 图表示与独立性

在概率分布和数据生成过程的研究中，多种图形对象被引入用于表示概率分布的约束以及数据生成过程的各个方面。每一类图形对象都伴随着一个或多个将图形结构与条件独立性属性相关联的原则。例如，无向图与可分离性配对，有向无环图（DAGs）与马尔可夫条件或d - 分离配对。

Lauritzen等人（1990）描述了不同类型图形模型的各种马尔可夫属性以及这些属性之间的关系。在他们的术语中，之前提到的马尔可夫条件是一种“局部”马尔可夫属性，而d - 分离是一种“全局”马尔可夫属性。

图形对象由顶点、边以及边上或边对的标记组成。不同类型的图形对象对其结构有不同的限制，例如无向图只包含无向边。对于无向图，其自然的全局无向马尔可夫属性规定：如果不相交的集合X、Y、Z满足Y将X和Z分离，即连接X中一个成员和Z中一个成员的每条路径都包含Y中的一个成员，那么X和Z在给定Y的条件下是独立的，可表示为X ⫫ Z |Y。

以下是几种常见的图形表示：
- 有向无环图（DAGs）
- 有向循环图（DCGs）
- 部分祖先图（PAGs）
- 混合祖先图（MAGs）
- 链图（CGs）

有向图（DGs）的集合是DAGs和DCGs的并集。研究这些表示不仅是因为它们代表了一类条件独立关系，更重要的是它们描述了因果假设与条件独立关系在应用统计中常用的各种模型中的关系。

下面用mermaid流程图展示这些图形表示的关系：

graph LR
    classDef proce