4、概率编程与贝叶斯深度学习问题解析

概率编程与贝叶斯深度学习问题解析

1. 问题概述

在概率编程和贝叶斯深度学习领域，存在着诸多需要解决的问题，这些问题涵盖了从基础的概率分布计算到复杂的贝叶斯网络应用等多个方面。下面我们将对这些问题进行详细的分析和解答。

2. 基础概率问题

2.1 癌症细胞击中问题

在一个实验中，需要找出对癌细胞正确击中次数的统计分布，并计算相应随机变量的期望和方差。同时，当一名放射科医生声称他恰好击中了 60 个癌细胞时，要判断他出错的可能性。
- 统计分布 ：该实验可看作是独立重复进行 200 次，每次成功概率为 0.1 的实验。若随机变量 X 表示成功的次数，那么 X 服从参数为 n = 200 和 p = 0.1 的二项分布，即 X ∼ Binomial(200, 0.1)。
- 期望和方差 ：根据二项分布的性质，期望 E[X] = np = 200 × 0.1 = 20，方差 Var[X] = np(1 - p) = 200 × 0.1 × (1 - 0.1) = 18.0。
- 判断医生出错的可能性 ：
- 方法一 ：直接使用二项分布的定义，计算 P(X = 60; n = 200, p = 0.1) = $\binom{200}{60}$ × 0.1^60 × (1 - 0.1)^(200 - 60) ≈ 2.7 × e^(-15)，这表明医生出错的概率极高。
- 方法二 ：利用标准正态分布进行近似。通过 Z - sco