1，泰勒定理
如果实函数f(x)在x=a处可微且各阶导数存在，则它在该点处的函数值可以写成多项式的形式（泰勒多项式）。
2，泰勒公式
2.1 最常见的指数函数的exe^xex在x=0处的泰勒公式形式为：
ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n→∞e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!, n\to\infinex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n→∞
实际使用中n不会取无穷大，则实际函数值和这个多项式之间会有差，叫做余项：
Rn(x)=ex−(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)R_n(x)=e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!)Rn(x)=ex−(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)
2.2 标准写法
设n为正整数，f(x)在x=a处（n+1）次可导，则对于a的领域内的任意x，有：
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)(x−a)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+Rn(x)f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)(x-a)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)(x−a)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+Rn(x)。
2.3 带有皮亚诺型余项的泰勒公式
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)/(x−1)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+o[(x−a)]nf(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)/(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+o[(x-a)]^nf(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)/(x−1)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+o[(x−a)]n。
它说明了Rn(x)是比(x−a)n更高阶的无穷小。R_n(x)是比(x-a)^n更高阶的无穷小。Rn(x)是比(x−a)n更高阶的无穷小。
2.4 带有拉格朗日余项的泰勒公式
Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−a)n+1/(n+1)!，θ∈(a,x)R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-a)^{n+1}/(n+1)!，\theta\in(a,x)Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−a)n+1/(n+1)!，θ∈(a,x)
2.5 带有积分项余项的泰勒公式
Rn(x)=∫axf(n+1)(t)(x−t)ndt/n!R_n(x)=\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt/n!Rn(x)=∫axf(n+1)(t)(x−t)ndt/n!
2.6 带有柯西余项的泰勒公式
Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−θ)n(x−a)/n!，θ∈(a,x)R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-\theta)^n(x-a)/n!，\theta\in(a,x)Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−θ)n(x−a)/n!，θ∈(a,x)
3，麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特殊形式。
上一节2.1中的指数函数的泰勒公式就是麦克劳林公式。
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