泰勒定理与泰勒公式

1,泰勒定理

如果实函数f(x)在x=a处可微且各阶导数存在,则它在该点处的函数值可以写成多项式的形式(泰勒多项式)。

2,泰勒公式

2.1 最常见的指数函数的exe^xex在x=0处的泰勒公式形式为:
ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n→∞e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!, n\to\infinex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!,n
实际使用中n不会取无穷大,则实际函数值和这个多项式之间会有差,叫做余项:
Rn(x)=ex−(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)R_n(x)=e^x-(1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!)Rn(x)=ex(1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!)

2.2 标准写法
设n为正整数,f(x)在x=a处(n+1)次可导,则对于a的领域内的任意x,有:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)(x−a)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+Rn(x)f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)(x-a)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)f(x)=f(a)+f(a)(xa)/1!+f(2)(a)(xa)2/2!+...+f(n)(a)(xa)n/n!+Rn(x)

2.3 带有皮亚诺型余项的泰勒公式
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)/1!+f(2)(a)/(x−1)2/2!+...+f(n)(a)(x−a)n/n!+o[(x−a)]nf(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f^{(2)}(a)/(x-1)^2/2!+...+f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!+o[(x-a)]^nf(x)=f(a)+f(a)(xa)/1!+f(2)(a)/(x1)2/2!+...+f(n)(a)(xa)n/n!+o[(xa)]n
它说明了Rn(x)是比(x−a)n更高阶的无穷小。R_n(x)是比(x-a)^n更高阶的无穷小。Rn(x)(xa)n

2.4 带有拉格朗日余项的泰勒公式
Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−a)n+1/(n+1)!,θ∈(a,x)R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-a)^{n+1}/(n+1)!,\theta\in(a,x)Rn(x)=f(n+1)(θ)(xa)n+1/(n+1)!θ(a,x)

2.5 带有积分项余项的泰勒公式
Rn(x)=∫axf(n+1)(t)(x−t)ndt/n!R_n(x)=\int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt/n!Rn(x)=axf(n+1)(t)(xt)ndt/n!

2.6 带有柯西余项的泰勒公式
Rn(x)=f(n+1)(θ)(x−θ)n(x−a)/n!,θ∈(a,x)R_n(x)=f^{(n+1)}(\theta)(x-\theta)^n(x-a)/n!,\theta\in(a,x)Rn(x)=f(n+1)(θ)(xθ)n(xa)/n!θ(a,x)

3,麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特殊形式。
在这里插入图片描述
上一节2.1中的指数函数的泰勒公式就是麦克劳林公式。

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