同步式SPWM两电平正弦脉宽调制逆变器（全波三角波）——正弦波为调制波（双重傅里叶分析）

SPWM正弦脉宽调制介绍

SPWM是调制波为正弦波、载波为三角波或锯齿波的一种脉宽调制法。

特点：
　原理简单，通用性强，控制和调节性能好，具有先出谐波、调节和稳定输出电压的多种作用，是一种比较好的波形改善法。
分类：
　分为两阶式和三阶式两种。（“阶”指的是PWM式逆变器输出电压在一个周期内的电压电平数）
　当阶数为3时，把输出电压基波半个周期内的脉冲数称为PWM逆变电路的脉冲数，在三相桥式逆变电路中，此脉冲数就是在基波一个周期内，同一个逆变开关的开通次数，他等于载波频率与基波频率（调制波频率）之比。

载波为全波三角波的单相二阶SPWM逆变器

工作原理：

电路与波形图：

谐波分析

从上述的波形图中，可以看出SPWM调制在调制波的各周期内所包含的脉冲模式是没有重复性的，因此，我们无法直接以调制波角频率$w_s$为基准，用傅里叶级数把他分解为调制波角频率倍数的谐波，而采用以载波的角频率$w_c$为基准，考察边频带谐波分布情况的方法是比较合适的，这就需要采用双重傅里叶级数的分析法来进行谐波分析，并且这种分析方法对于同步式也是正确的。
　双重傅里叶谐波分析表示：
　在载波$w_c$的一个周期内，将三角波（负峰值为起点）可以表示，他们的斜率为$+\frac{2U_c}{\pi }$和$-\frac{2U_c}{\pi }$，初始值为$+U_c$和$-U_c$，这样三角波的数学方程式就可以写成这样的形式了：
$$u_c=\{\begin{array}{ll}-(w_{c}t-2\pi k-\pi )\frac{2U_c}{\pi }+U_c& 2\pi k+\pi \le w_{c}t\le 2\pi k+2\pi \\ (w_{c}t-2\pi k)\frac{2U_c}{\pi }+U_c& 2\pi k\le w_{c}t\le 2\pi k+\pi \end{array}$$
而此时正弦调制波函数为：
$$u_s=sin(w_{s}t-\phi )$$
取调制度$\frac{U_s}{U_c}=M\le 1$,载波比$\frac{w_c}{w_s}=N\gg 1$，N等于任意正整数。
　二阶SPWM波的采样点是正弦波与三角波的交点，在交点处存在数学关系$u_s=u_c$。
　在采样点a：$U_{s}sin(w_s-\phi )=-(w_{c}t-2\pi k-\pi )\frac{2U_c}{\pi }+U_c$.
　取$X=w_{c}t,Y=w_{s}t-\phi$则公式可以写为
　$$X=2\pi (k+1)-\frac{\pi }{2}(1+MsinY)$$
　在采样点b：$X=2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)$
　同时，按照调制的方式，在$X=w_{c}t$的$2\pi (k-\frac{1}{2})$到$2\pi (k+\frac{1}{2})$的区间内，此时调制输出信号的表达式为：$$u_L=\{\begin{array}{ll}E& 2\pi (k+1)-\frac{\pi }{2}(1+MsinY)\le X\le 2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)\\ -E& 2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)\le X\le 2\pi (k+1)-\frac{\pi }{2}(1+MsinY)\end{array}（\mathrm{１}）$$
　其中$Y=w_s-\phi ,X=w_{c}t,\frac{w_c}{w_s}=N,\frac{U_s}{U_c}=M\le 1,k=0,1,2...$
　假设m为相对于载波$w_c$的谐波次数，n为相对于调制波$w_s$的谐波次数，怎$u_L$的双重傅里叶级数表达式为
　$$\begin{gathered} u_L=\frac{1}{2}{A}_{00}（直流分量）+\sum _{n=1}^{\propto }(A_{0n}cosnY+B_{0n}sinnY)（调制波谐波分量） \\ +\sum _{m=1}^{\propto }(A_{m0}cosmX+B_{m0}sinmX)（载波谐波分量） \\ +\sum _{m=1}^{\propto }\sum _{-\propto ,n\ne 0}^{+\propto }(A_{mn}cos(mX+nY)+B_{mn}sin(mX+nY))（边带谐波分量）(\mathrm{２}) \end{gathered}$$
　式中关系为：
　$$A_{mn}+j{B}_{mn}=\frac{2}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }{U}_L\cdot e^{j(mX+nY)}dXdY,m=1,2,3...（\mathrm{３}）$$
　将在一个周期内的方程（1）代入（３）进行傅里叶积分的求解为：
　$$\begin{gathered} A_{mn}+j{B}_{mn}=-\frac{2E}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }{\int }_{2\pi (k-\frac{1}{2})}^{2\pi (k+1)+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}{e}^{j(mX+nY)}dXdY \\ +\frac{2E}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }{\int }_{2\pi (k+1)-\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}^{2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}{e}^{j(mX+nY)}dXdY \\ -\frac{2E}{(2\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }{\int }_{2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}^{2\pi (k+\frac{1}{2})}{e}^{i(mX+nY)}dXdY（\mathrm{４}） \end{gathered}$$
　 因为$e^{jm(2\pi (k-\frac{1}{2}))}=e^{jm(2\pi (k-\frac{1}{2}))}=(-1{)}^m$故公式（4）可以化简为$$(4)=-\frac{E}{jm2(\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }[2e^{jm(2\pi k+\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}-2e^{jm(2\pi (k+1)-\frac{\pi }{2}(1+MsinY)}\cdot e^{jnY}dXdY]$$
　 （计算易错点：进行比较大的计算的时候，一定要先搞清楚符号是前提，再就是公式套用的要准确，才能计算准确）
　 且存在关系有$e^{jm2\pi k}=e^{im2\pi (k+1)}=1$则将此关系代入（4）式中，可以得到此时的化简关系为：
　 $$A_{mn}+j{B}_{mn}=-\frac{jE}{m(\pi {)}^2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }[e^{j(\frac{m\pi }{2}+\frac{mM\pi }{2}sinY)}-e^{-j(\frac{m\pi }{2}+\frac{mM\pi }{2}sinY)}]e^{jnY}dXdY$$
　 由bessel理论以及$e^{jn\pi }=(-1{)}^n$,得：
　
代入化简可以得到目标的表达式化简为：

（在化简过程中需要注意到关系$sinn\pi =2sin\frac{n\pi }{2}\cdot \cos \frac{n\pi }{2}=0$的化简关系的使用 且记作这个公式为（5））

分类讨论谐波分析:

1、从结果的目标式可以知道，当m=0,n=时，$sin\frac{m+n}{2}\pi =0$,因此恒定分量$A_{00}=0$;
2、对于基波和基波的谐波分析，此时m=0，
此时，相关的关系为：

由傅里叶级数的关系：${\int }_{-\pi }^{+\pi }sinYcosnY\cdot dY=0$,因此存在关系：
$$A_{0n}+j{B}_{0n}=\frac{jME}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }sinY\cdot sinnY\cdot dY$$,由傅里叶级数关系，可以知道这个表达式只在基波，n=1的时候才存在数值即$B_{01}=ME,A_{01}=0$，即对于基波的谐波是不存在的。
3、对于载波及载波的谐波，n=0,由公式（5）得：
$$A_{m0}+j{B}_{m0}=\frac{4E}{m\pi }{J}_0(\frac{mM\pi }{2}）sin\frac{m\pi }{2}$$
即：
$$A_{m0}=\frac{4E}{m\pi }{J}_0(\frac{mM\pi }{2})sin\frac{m\pi }{2},B_{m0}=0$$他的表达式中只存在实数项（即输出对应的余弦项），且这个项的输出表达式可以看出，当m为偶数的时候$A_{m0}=0$,无输出，而当m为奇数的时候才有对应的谐波输出，即输出的载波的谐波只有奇数次谐波，而不存在偶次谐波。
4、载波及载波m次谐波的上下变频分析：
此时的表达式为：
$$A_{mn}=\frac{4E}{m\pi }{J}_n(\frac{mM\pi }{2})sin(\frac{m+n}{2}\pi )\cdot cos\frac{n\pi }{2}$$
$$B_{mn}=\frac{4E}{m\pi }{J}_n(\frac{mM\pi }{2})sin(\frac{m+n}{2}\pi )\cdot sin\frac{n\pi }{2}$$
对输出谐波表达式分析为：
当m为奇数，n为偶数$(sin\frac{n\pi }{2}=0)$此时的m+n为奇数时，输出只存在$A_{mn}$项；
当m为奇数，n为奇数$(cos\frac{n\pi }{2}=0)$此时的m+n为偶数$(sin(\frac{m+n}{2}\pi )=0)$.没有对应的谐波输出；
当m为偶数，n为偶数，此时的m+n为偶数$(sin(\frac{m+n}{2}\pi )=0)$.没有对应的谐波输出；
当m为偶数，n为奇数$(cos\frac{n\pi }{2}=0)$，此时的m+n为奇数时，输出只存在$B_{mn}$项；
由于$\frac{w_c}{w_s}=N$是任意正整数，故将上面得到的系数结果代入方程中，便可以得到此时$u_L$的双重傅里叶级数表达式为：
$$\begin{gathered} u_L=MEsin(w_{s}t-\phi )+\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\frac{J_0(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin\frac{m\pi }{2}cos(mN{w}_{s}t) \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\sum _{n=\pm 2,\pm 4,\pm 6...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin(\frac{m+n}{2}\pi )cos\frac{n\pi }{2}cos[(mN+n)w_{s}t-n\phi ] \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=2,4,6,8...}^{\propto }\sum _{n=\pm 1,\pm 3,\pm 5...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin(\frac{m+n}{2}\pi )sin\frac{n\pi }{2}sin[(mN+n)w_{s}t-n\phi ]（\mathrm{６}） \end{gathered}$$
对公式进行化简，由三角函数的诱导公式为：

所以此时的$u_L$可以写成：
$$\begin{gathered} u_L=MEsin(w_{s}t-\phi )+\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\frac{J_0(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin\frac{m\pi }{2}cos(mN{w}_{s}t) \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\sum _{n=\pm 2,\pm 4,\pm 6...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin\frac{m\pi }{2}cos[(mN+n)w_{s}t-n\phi ] \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=2,4,6,8...}^{\propto }\sum _{n=\pm 1,\pm 3,\pm 5...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}cos\frac{m\pi }{2}sin[(mN+n)w_{s}t-n\phi ]（7） \end{gathered}$$
或：
uL=MEsin(wst−φ)+4Eπ∑m=1,3,5,7...∝J0(mMπ2)msinmπ2cos(mNwst)+4Eπ∑m=1,2,3,4...∝∑n=±1,±2,±3...±∝Jn(mMπ2)msin(m+n2π)⋅{cosnπ2cos[(mN+n)wst−nφ]+sinnπ2sin[(mN+n)wst−nφ]}　（8）u_L=MEsin(w_st-\varphi)+\frac{4E}{\pi}\sum_{m=1,3,5,7...}^{\propto}\frac{J_0(\frac{mM\pi}{2})}{m}sin\frac{m\pi}{2}cos(mNw_st)\\ +\frac{4E}{\pi}\sum_{m=1,2,3,4...}^{\propto}\sum_{n=\pm 1,\pm 2,\pm 3...}^{\pm \propto}\frac{J_n(\frac{mM\pi}{2})}{m}sin(\frac{m+n}{2}\pi)\cdot \\ \{cos\frac{n\pi}{2}cos[(mN+n)w_st-n\varphi]+sin\frac{n\pi}{2}sin[(mN+n)w_st-n\varphi]\}　（8）uL​=MEsin(ws​t−φ)+π4E​m=1,3,5,7...∑∝​mJ0​(2mMπ​)​sin2mπ​cos(mNws​t)+π4E​m=1,2,3,4...∑∝​n=±1,±2,±3...∑±∝​mJn​(2mMπ​)​sin(2m+n​π)⋅{cos2nπ​cos[(mN+n)ws​t−nφ]+sin2nπ​sin[(mN+n)ws​t−nφ]}　（8）
最终化简为：
uL=MEsin(wst−φ)+4Eπ∑m=1,3,5,7...∝J0(mMπ2)msinmπ2cos(mNwst)+4Eπ∑m=1,2,3,4...∝∑n=±1,±2,±3...±∝Jn(mMπ2)msin(m+n2π){cos[(mN+n)wst−nφ−nπ2]}　（9）u_L=MEsin(w_st-\varphi)+\frac{4E}{\pi}\sum_{m=1,3,5,7...}^{\propto}\frac{J_0(\frac{mM\pi}{2})}{m}sin\frac{m\pi}{2}cos(mNw_st)\\ +\frac{4E}{\pi}\sum_{m=1,2,3,4...}^{\propto}\sum_{n=\pm 1,\pm 2,\pm 3...}^{\pm \propto}\frac{J_n(\frac{mM\pi}{2})}{m}sin(\frac{m+n}{2}\pi)\{cos[(mN+n)w_st-n\varphi -\frac{n\pi}{2}]\}　（9）uL​=MEsin(ws​t−φ)+π4E​m=1,3,5,7...∑∝​mJ0​(2mMπ​)​sin2mπ​cos(mNws​t)+π4E​m=1,2,3,4...∑∝​n=±1,±2,±3...∑±∝​mJn​(2mMπ​)​sin(2m+n​π){cos[(mN+n)ws​t−nφ−2nπ​]}　（9）

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结论:当载波为全波三角波的单相二阶SPWM逆变器输出电压的谐波包含下面的成分：基波、载波、载波的m次谐波，载波及载波m次谐波的上下边频谐波，其中基波幅值与调制度成正比，故通过调制调制波（正弦波）幅值的大小就可以调节输出电压。当m为偶数时，载波的m次谐波也不存在；当m+n为偶数时，载波与载波的m次谐波的上下边频谐波也不存在。
　当M=0.2~1时，由方程所计算的频谱分布值如下表。由此表可以画出N等于任意正整数时的频谱分布，如下图所示。由图可以看出，频谱的分布不只与M的大小有关，也与载波比N有关；M可以改变谐波的幅值，而N可以改变谐波的频率。 N越大，谐波频率越高，滤波越容易。当N达到一定值时，只用几个微法的电容就可以达到比较好的滤波效果（可以将设备做的比较小），这就是提高载波频率的主要原因。
　
从中可以看出存在奇数次的m次的载波，而不存在偶次载波的谐波。

讨论各种情况下对于SPWM逆变的谐波分析

1、同步式SPWM在正弦调制波起点位置不同时，二阶SPWM波的双重傅里叶级数表达式的不同：

对于同步式SPWM，相对于载波三角波来说，正弦调制波起始点的位置共有四种，即起始点在三角波的正、负峰值处，上升沿与下降沿的零点处。
下表是根据不同的起点的载波三角波的相应波形，以及根据波形解出的二阶SPWM波的双重傅里叶级数表达式。

结论分析：

• 正弦波调制起点不同对方程的基波与谐波的幅值是没有影响的，对方程的谐波次数也没有影响。
• 他只影响到第二项与第三项前的正、负号，以及是正弦还是余弦函数。（起始点在三角波福峰值处，方程的第二项、第三项是正的余弦函数；在三角波的正峰值处，方程的第二项、第三项为负余弦函数；起始点在三角波下降沿零点处，方程的第二项、第三项是正的正弦函数；起始点在三角波的上升沿零点处时，方程的第二项、第三项是负的正弦函数）
• 即调制波起始点在三角波的正、负峰值处时，方程中含有正弦项和余弦项；而调制波起始点在三角波的上升或下降沿零点处时，方程中只含有正弦项，此时$u_L(t)$是奇函数，波形对称于原点。所以，就输出波形而论，正弦调制起始点位置在三角波的上升或下降沿零点处为好，他可以得到对称于原点的奇函数波形，这对于N值较小的同步调制十分有利的。

同步式SPWM N取奇数或偶数时对输出波形的影响

输出谐波方程：
$$\begin{gathered} u_L=MEsin(w_{s}t-\phi )+\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\frac{J_0(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin\frac{m\pi }{2}cos(mN{w}_{s}t) \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=1,3,5,7...}^{\propto }\sum _{n=\pm 2,\pm 4,\pm 6...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}sin\frac{m\pi }{2}cos[(mN+n)w_{s}t-n\phi ] \\ +\frac{4E}{\pi }\sum _{m=2,4,6,8...}^{\propto }\sum _{n=\pm 1,\pm 3,\pm 5...}^{\pm \propto }\frac{J_n(\frac{mM\pi }{2})}{m}cos\frac{m\pi }{2}sin[(mN+n)w_{s}t-n\phi ] \end{gathered}$$
波形图：

结论：
在四种起始位置中，比较这8种波形可以知道：
当N为偶数时，方程第二项中mN为偶数，第三项中mN+n为偶数，第四项mN+n为奇数，所以方程中的第二、三项为偶次谐波；
当N为奇数时，方程第二项中mN为奇数，第三项mN+n为奇数，第四项中mN+n为奇数，所以方程中的所有项都是奇数次谐波，因此，就输出波形而言，N=奇数为好。
他可以让方程中的谐波全为奇次谐波，所得到的波形既对称于原点，又对称于纵轴（镜对称）所以为奇谐波函数。
当N=奇数时，比较正弦调制波起始点位置在三角波下降沿零点处和上升沿零点处两种波形可知，起始点在上升沿零点处，所得第一个脉冲为负脉冲，而当N值很小（如：N=3）时波形很差，不如起始点在下降沿处的波形好。
总结：在选择调制波起始点位置和选择N为奇数或偶数时，应选取起始点在下降沿零点处，N=奇数为最好

载波比N的数值选择

N的数值对输出波形的谐波次数影响很大，对于无死区的SPWM逆变器，N值越大，谐波的次数越高，滤波越容易，但是在有死区的SPWM逆变器，N越大逆变器的低次谐波含量越大（死区占据了大部分时间，变化慢了等价于低次谐波多），开关损耗也越大，逆变效率就越小，因此合适的选取N的数值很重要。
　而在实际中N的值的选取受到很多因素的影响（逆变器的功率、电路型式、输出频率、工作在变频调速状态还是定频输出状态都有关）。
　但是一般来说：对于特大功率的逆变器，由于大功率开关器件的开关性能较差，并且大多数工作在硬开关状态，为了较高的逆变效率应选取$N\le 9$.
对于大、中功率无死区的逆变器，开关性能好写，且缓冲电路对开关过程的改善逆变效率下降的不多，应选取$9\le N\le 21$.
　而在中、小功率无死区的逆变器，开关器件的特性好，由于缓冲电路或软开关工作方式，开关损耗相应较小，可以选取$N\ge 21$,特别小功率的UPS，可以取到$N\ge 100$,使逆变器的开关功率增加到20kHz以上，这样采用小电容就比较好滤波了。并且在N的数值比较大时，调制波起始点位置的影响和N为奇数还是偶数的影响就变的不重要了。
　而在N的数值较小时，调制要求：
　

过调制（$M>1$)的影响

过调制（即调制度大于1），这种调制通常在诸如感应电动机传动之类的感性负载，（感性负载能够抑制电压的变化）使逆变器运行在过调制区。逆变器采用SPWM时，其输出电压的基波幅值与调制度M的关系与分析为：


总结：线性区域的优点是基波电压幅值与M是线性关系，因而具有较好的脉宽调制特性，但其缺点是基波分量可利用的最大幅值不高，为了进一步增加输出电压基波分量的幅值，最直接的方法是增大M让其进入过调制区域。如果利用过调制的同时不考虑N值，则推荐采用同步PWM运行，以满足N值较小的情况。这里必须指出，对于UPS电源这些严格要求电压畸变最小的场合，在应用时应该避免使逆变器进入过调制区域，只有对于诸如感应电动机这一类负载，才可以使逆变器进入过调制区域运行。

总结：

选择调制时应采用下降沿零点、N为奇数、调制度在线性区域内，在N较小时，应该采用同步调制才可以有比较好的波形，谐波干扰少。

图片参考书籍：刘凤君的正弦波逆变器一书