【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)，顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog(cnblogs, belong)，最长公共子串为lo(cnblogs, belong)。

2. 求解算法

对于母串\(X = < x_1, x_2, \cdots , x_m >\), \(Y = < y_1, y_2, \cdots , y_n >\)，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 \(m < n\)， 对于母串\(X\)，我们可以暴力找出\(2^m\)个子序列，然后依次在母串\(Y\)中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级\(O(n*2^m)\)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设\